1. Vecteurs et repère cartésien
Définition (Vecteurs colinéaires)
On dit que deux vecteurs non nuls \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires s’il existe un réel k tel que \vec{v} = k\vec{u}
Vecteurs colinéaires
Remarques
Par convention, on considère que le vecteur nul est colinéaire est tout vecteur du plan
Deux vecteurs colinéaires ont la même direction ; ils ont le même sens si k > 0 et sont de sens contraire si k < 0.
Définition
On dit que le vecteur non nul \vec{u} est un vecteur directeur de la droite d si et seulement si il existe deux points A et B de d tels que \vec{u}=\overrightarrow{AB}.
Vecteur directeur
Propriété
Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Propriété
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Théorème et définitions
Soient O un point et \vec{i} et \vec{j} deux vecteurs non colinéaires du plan.
Le triplet \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) s’appelle un repère cartésien du plan.
Pour tout point M du plan, il existe deux réels x et y tels que :
\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}
Pour tout vecteur \vec{u} du plan, il existe deux réels x et y tels que :
\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}
Le couple \left(x ; y\right) s’appelle le couple de coordonnées du point M (ou du vecteur \vec{u}) dans le repère \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right)
Coordonnées dans un repère cartésien
Remarque
Dans ce chapitre, les repères utilisés ne seront pas nécessairement orthonormés.
L’étude spécifique des repères orthonormés sera détaillée dans le chapitre produit scalaire
Propriétés
On se place dans un repère \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right).
Soient deux points A\left(x_{A} ; y_{A}\right) et B\left(x_{B} ; y_{B}\right), alors :
Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \left(x_{B} – x_{A} ; y_{B} – y_{A}\right)
Le milieu M de \left[AB\right] a pour coordonnées M \left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)
Théorème
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées respectives \left(x ; y\right) et \left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) dans un repère \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right). Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est à dire si et seulement si :
xy^{\prime} – x^{\prime}y=0
2. Equations de droites
Dans cette partie, on se place dans un repère \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) (non nécessairement orthonormé).
Théorème
Soit d une droite passant par un point A et de vecteur directeur \vec{u}.
Un point M appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \vec{u} sont colinéaires.
Exemple
Soient le point A\left(0;1\right) et le vecteur \vec{u}\left(1; – 1\right). Le point M\left(x ; y\right) appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur \vec{u} si et seulement si \overrightarrow{AM} et \vec{u} sont colinéaires. Or les coordonnées de \overrightarrow{AM} sont \left(x ; y – 1\right) donc :
M \in d \Leftrightarrow x\times \left( – 1\right) – \left(y – 1\right)\times 1=0 \Leftrightarrow – x – y+1=0
Cette dernière égalité s’appelle une équation cartésienne de la droite d.
Théorème
Toute droite du plan possède une équation cartésienne du type :
ax+by+c=0
où a, b et c sont trois réels.
Réciproquement, l’ensemble des points M\left(x ; y\right) tels que ax+by+c=0 où a, b et c sont trois réels avec a\neq 0 ou b\neq 0 est une droite.
Remarques
Une droite possède une infinité d’équation cartésienne (il suffit de multiplier une équation par un facteur non nul pour obtenir une équation équivalente).
Si b\neq 0 l’équation peut s’écrire :
ax+by+c= 0 \Leftrightarrow by= – ax – c \Leftrightarrow y= – \dfrac{a}{b}x – \dfrac{c}{b}
qui est de la forme y=mx+p (en posant m= – \dfrac{a}{b} et p= – \dfrac{c}{b}).
Cette forme est appelée équation réduite de la droite.
Ce cas correspond à une droite qui n’est pas parallèle. à l’axe des ordonnées.
Si b=0 et a\neq 0 l’équation peut s’écrire :
ax+c= 0 \Leftrightarrow ax= – c \Leftrightarrow x= – \dfrac{c}{a}
qui est du type x=k (en posant k= – \dfrac{c}{a})
Ce cas correspond à une droite qui est parallèle. à l’axe des ordonnées.
Propriété
Soit d une droite d’équation ax+by+c=0.
Le vecteur \vec{u} de coordonnées \left( – b ; a\right) est un vecteur directeur de la droite d.
Démonstration
Voir exercice : Equation cartésienne – Vecteur directeur.