Vecteurs et coordonnées
Définitions
Un repère du plan est déterminé par un point quelconque O, appelé origine du repère, et deux vecteurs \vec{i} et \vec{j} non colinéaires.
Définitions
On dit que le repère \left(O;\vec{i},\vec{j}\right) est :
orthogonal : si les vecteurs \vec{i} et \vec{j} sont orthogonaux
orthonormé ou orthonormal : si le repère est orthogonal et si les vecteurs \vec{i} et \vec{j} ont la même norme.
Repère orthonormé
Définitions
Soit \left(O;\vec{i},\vec{j}\right) un repère du plan.
On dit que M a pour coordonnées \left(x ; y\right) si et seulement si :
\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}
On dit que \vec{u} a pour coordonnées \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} si et seulement si :
\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}
Par la suite, on considère que le plan P est muni d’un repère \left(O;\vec{i},\vec{j}\right).
Propriété
Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Propriété
Soient A\left(x_A;y_A\right) et B\left(x_B;y_B\right). Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix}
Exemple
Soient A\left(1 ; 1\right), B\left(4 ; 2\right), C\left(5 ; 0\right), D\left(2 ; – 1\right)
Les coordonnées de \overrightarrow{AB} sont \begin{pmatrix} 4 – 1 \\ 2 – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}
Les coordonnées de \overrightarrow{DC} sont \begin{pmatrix} 5 – 2 \\ 0 – \left( – 1\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} donc ABCD est un parallélogramme. ( voir Généralités sur les vecteurs )
Propriétés
Soient deux vecteurs \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et \vec{v} \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}.
Le vecteur \vec{u}+\vec{v} a pour coordonnées \begin{pmatrix} x+x^{\prime} \\ y+y^{\prime} \end{pmatrix}
Le vecteur k\vec{u} a pour coordonnées \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}
Propriété
Colinéarité
Deux vecteurs non nuls \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et \vec{v} \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si:
xy^{\prime} – yx^{\prime}=0
Propriété
Milieu d’un segment
Si A\left(x_A;y_A\right) et B\left(x_B;y_B\right), le milieu M de \left[AB\right] a pour coordonnées :
M \left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)
Propriété
Norme et distance
Soit un vecteur \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. Alors :
||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2}
On en déduit si A\left(x_A;y_A\right) et B\left(x_B;y_B\right) :
AB=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{\left(x_B – x_A\right)^2+\left(y_B – y_A\right)^2}
Exemple
Soient A\left(1 ; 0\right), B\left(3 ; 1\right), C\left(0 ; 2\right).
Que peut-on dire du triangle ABC ?
AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}
AC=\sqrt{\left( – 1\right)^2+2^2}=\sqrt{5}
BC=\sqrt{\left( – 3\right)^2+1^2}=\sqrt{10}
Donc AB=AC
De plus :
AB^2+AC^2=5+5=10
BC^2=10
Le triangle ABC est donc rectangle en A (réciproque du théorème de Pythagore) et isocèle.