Fonctions polynômes
Définition
Une fonction P est une fonction polynôme si elle est définie sur \mathbb{R} et si on peut l’écrire sous la forme :
P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n – 1}x^{n – 1}+ . . . +a_{1}x+a_{0}
Remarques
par abus de langage, on dit souvent polynôme au lieu de fonction polynôme.
les nombres a_{i} s’appellent les coefficients du polynôme.
Définition (Degré d’un polynôme)
Si P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n – 1}x^{n – 1}+ . . . +a_{1}x+a_{0} (où le coefficient a_n est non nul), on dit que P est une fonction polynôme de degré n.
Cas particuliers
la fonction nulle n’a pas de degré.
une fonction constante non nulle définie par f\left(x\right)=a avec a\neq 0 est une fonction polynôme de degré 0.
une fonction affine f\left(x\right)=ax+b avec a\neq 0 est une fonction polynôme de degré 1.
Propriété
Le produit d’un polynôme de degré n par un polynôme de degré m est un polynôme de degré m+n.
Remarque
Il n’existe pas de formule donnant le degré d’une somme de polynôme. On peut tout au plus dire que le degré de P+Q est inférieur ou égal à la fois au degré de P et au degré de Q.
Propriété
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.
Cas particulier
P est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Définition
On dit que a \in \mathbb{R} est une racine du polynôme P si et seulement si P\left(a\right)=0.
Exemple
1 est racine du polynôme P\left(x\right)=x^{3} – 2x+1 car P\left(1\right)=0
Théorème
Si P est un polynôme de degré n\geqslant 1 et si a est une racine de P alors P\left(x\right) peut s’écrire sous la forme :
P\left(x\right)=\left(x – a\right)Q\left(x\right)
où Q est un polynôme de degré n – 1.
Fonctions polynômes du second degré
Définition
On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :
P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c
où a, b et c sont des réels avec a \neq 0.
Exemples
P\left(x\right)=2x^{2}+3x – 5 est un polynôme du second degré.
P\left(x\right)=x^{2} – 1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q\left(x\right)=x – 1 n’en est pas un car a n’est pas différent de zéro (c’est un polynôme du premier degré – ou une fonction affine).
P\left(x\right)=5\left(x – 1\right)\left(3 – 2x\right) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.
Théorème et définition
Tout polynôme du second degré P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c peut s’écrire sous la forme :
P\left(x\right)=a\left(x – \alpha \right)^{2}+ \beta
avec \alpha = – \dfrac{b}{2a} et \beta =P\left(\alpha \right).
Cette expression s’appelle forme canonique du polynôme P.
Définition
Le nombre \Delta =b^{2} – 4ac s’appelle le discriminant du trinôme ax^{2}+bx+c.
Propriété (Racines d’un polynôme du second degré)
L’équation ax^{2}+bx+c=0 :
n’a aucune solution réelle si \Delta < 0 ;
a une solution unique x_{0}=\alpha = – \dfrac{b}{2a} si \Delta =0 ;
a deux solutions x_{1}=\dfrac{ – b+\sqrt{\Delta }}{2a} et x_{2}=\dfrac{ – b – \sqrt{\Delta }}{2a} si \Delta > 0.
Exemples
P_{1}\left(x\right)= – x^{2}+3x – 2 :
\Delta =9 – 4\times \left( – 1\right)\times \left( – 2\right)=1.
P_{1} possède 2 racines :
x_{1}=\dfrac{ – 3 – 1}{ – 2}=2 et x_{2}=\dfrac{ – 3+1}{ – 2}=1
P_{2}\left(x\right)=x^{2} – 4x+4 :
\Delta =16 – 4\times 1\times 4=0.
P_{2} possède une seule racine :
x_{0}= – \dfrac{ – 4}{2}=2.
P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1 :
\Delta =1 – 4\times 1\times 1= – 3.
P_{3} ne possède aucune racine.
Propriété (Somme et produit des racines)
Soit un polynôme P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c dont le discriminant est strictement positif.
La somme des racines vaut x_{1}+x_{2}= – \dfrac{b}{a}.
Le produit des racines vaut x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}.
Remarque
Ces propriétés sont souvent utilisées pour résoudre rapidement une équation qui possède une racine évidente.
Par exemple l’équation x^{2} – 4x+3=0 admet x_{1}=1 comme racine puisque 1^{2} – 4\times 1+3=0 ; comme x_{1}\times x_{2}=\dfrac{c}{a}=3 l’autre racine est x_{2}=3 .
Propriété (Signe d’un polynôme du second degré)
Le polynôme P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c :
est toujours du signe de a si \Delta < 0 ;
est toujours du signe de a mais s’annule en x_{0}=\alpha = – \dfrac{b}{2a} si \Delta =0 ;
est du signe de a à l’extérieur des racines (c’est à dire sur \left] – \infty~; x_{1}\right[ \cup \left]x_{2}; +\infty \right[) et du signe opposé entre les racines ( sur \left]x_{1}; x_{2}\right[).
Remarque
Suivant chacun des cas on peut représenter le tableau de signe de P de la façon suivante :
Si \Delta > 0 : P\left(x\right) est du signe de a à l’extérieur des racines (c’est à dire si x < x_{1} ou x > x_{2} ) et du signe opposé entre les racines (si x_{1} < x < x_{2}).
Si \Delta =0 : P\left(x\right) est toujours du signe de a sauf en x_{0} (où il s’annule).
Si \Delta < 0 : P\left(x\right) est toujours du signe de a.
Exemples
Si l’on reprend les exemples précédents :
P_{1}\left(x\right)= – x^{2}+3x – 2 :
\Delta > 0 et a < 0.
P_{2}\left(x\right)=x^{2} – 4x+4 :
\Delta =0 et a > 0.
P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1 :
\Delta < 0 et a > 0.
On rappelle que les solutions de l’équation f\left(x\right)=0 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe C_{f} et de l’axe des abscisses.
En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :
