Theoreme Thales

Le théorème de Thalès doit son nom au philosophe, astronome et mathématicien grec Thalès de Milet (env. 600 ans avant J.C.). S’il n’est pas l’inventeur de ce théorème qui était déjà connu des babyloniens, Thalès l’aurait utilisé pour mesurer la hauteur de la grande pyramide de Kheops.

Le théorème de Thalès permet de calculer des distances dans une configuration géométrique comportant des droites parallèles.

La réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer que deux droites sont parallèles en calculant des rapports de distances.

1. Théorème de Thalès

Théorème de Thalès

Si A, B, C, D, E sont cinq points tels que :

  • les points A, B, D et les points A, C, E sont alignés

  • les droites \left(BC\right) et \left(DE\right) sont parallèles

alors :

\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{BC}{DE}

Remarques

Deux configurations différentes peuvent se présenter selon l’ordre des points A, B, D et A, C, E. Il faut être capable de repérer chacune de ces configurations dans les exercices de géométrie.

Configurations du théorème de Thalès exemples graphiques

Théorème de Thalès

Remarques

  • Il est important de bien faire attention à l’ordre des points. On pourra s’aider en notant la correspondance entre les points. Dans les deux figures ci-dessus :

    A \rightarrow A

    B \rightarrow D

    C \rightarrow E

    Par conséquent :

    AB \rightarrow AD

    AC \rightarrow AE

    BC \rightarrow DE

Exemple

Exemple calcul de longueur avec le théorème de Thalès

Sur la figure ci-dessus, on sait que OL=6cm,OI=4cm et IJ=2cm et que les droites \left(IJ\right) et \left(KL\right) sont parallèles.

Quelle est la longueur du segment \left[KL\right] ?

  • les points O, J, K et les points O, I, L sont alignés

  • les droites \left(IJ\right) et \left(KL\right) sont parallèles

Par conséquent, d’après le théorème de Thalès :

\dfrac{OJ}{OK}=\dfrac{OI}{OL}=\dfrac{IJ}{KL}

On remplace les longueurs dont ont connait les mesures :

\dfrac{OJ}{OK}=\dfrac{\color{red}{4}}{\color{red}{6}}=\dfrac{\color{red}{2}}{KL}

L’égalité \dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{KL} nous permet de trouver KL (quatrième proportionnelle) :

KL=\dfrac{2\times 6}{4}=3cm.

2. Réciproque du théorème de Thalès

Théorème (Réciproque du théorème de Thalès)

Si A, B, C, D, E sont cinq points tels que les points A, B, D et les points A, C, E sont alignés dans le même ordre.

Si \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE} alors, les droites \left(BC\right) et \left(DE\right) sont parallèles.

Schéma illustrant la réciproque du théorème de Thalès

Remarques

  • Ce théorème sert à démontrer que deux droites sont parallèles.

  • Si \dfrac{AB}{AD}\neq \dfrac{AC}{AE} alors, les droites \left(BC\right) et \left(DE\right) ne sont pas parallèles ; cela ne résulte toutefois pas de la réciproque du théorème de Thalès mais c’est une conséquence du théorème de Thalès lui-même (en effet d’après le théorème de Thalès si les droites \left(BC\right) et \left(DE\right) étaient parallèles on aurait \dfrac{AB}{AD}= \dfrac{AC}{AE} – voir la fiche méthode Déterminer si deux droites sont parallèles ).

Exemple

Exemple d'application réciproque théorème de Thalès

Dans la figure ci-dessus, on sait que OI=6,2cm,OJ=5,6cm, OK=6,8cm et OL=7,2cm.

Les droites \left(IJ\right) et \left(KL\right) sont-elles parallèles ?

Méthode : On calcule séparément \dfrac{OI}{OL} et \dfrac{OJ}{OK}

\dfrac{OI}{OL}=\dfrac{6,2}{7,2}=\dfrac{62}{72}=\dfrac{31}{36}

\dfrac{OJ}{OK}=\dfrac{5,6}{6,8}=\dfrac{56}{68}=\dfrac{14}{17}

\dfrac{OI}{OL} \neq \dfrac{OJ}{OK} (si vous n’êtes pas sûr, vérifiez à la calculatrice !) donc les droites \left(IJ\right) et \left(KL\right) ne sont pas parallèles.

Document PDF Télécharger le PDF