1. Théorème de Pythagore (rappels de 4ème)
Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.
Remarque
On rappelle que l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et le côté ayant la plus grande longueur.
Ce théorème sert à calculer la longueur d’un côté connaissant les longueurs des deux autres lorsque l’on sait que le triangle est rectangle
Exemple
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=4cm et AC=3cm
D’après le théorème de Pythagore :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25
Donc BC=\sqrt{25}=5cm.
Théorème (Réciproque du théorème de Pythagore)
Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur du plus grand coté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Remarques
Ce théorème sert à démontrer qu’un triangle est un triangle rectangle lorsqu’on connait les longueurs de ses trois côtés.
Exemple
Soit ABC un triangle tel que AB=12cm, AC=5cm et BC=13cm.
ABC est-il rectangle ?
On calcule séparément BC^{2} (carré de la longueur du plus grand coté) et AB^{2}+AC^{2} (somme des carrés des longueurs des deux autres côtés) :
BC^{2}=13^{2}=169
AB^{2}+AC^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169
BC^{2} = AB^{2}+AC^{2} donc le triangle ABC est rectangle en A d’après la réciproque du théorème de Pythagore.
2. Trigonométrie
Définitions
Soit ABC un triangle rectangle en A :
le sinus de \widehat{ABC} est le nombre :
\sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{\text{longueur du côté opposé à B}}{\text{longueur de l} ^{\prime} \text{hypoténuse}}
le cosinus de \widehat{ABC} est le nombre :
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{\text{longueur du côté adjacent à B}}{\text{longueur de l} ^{\prime} \text{hypoténuse}}
le tangente de \widehat{ABC} est le nombre :
\tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{\text{longueur du côté opposé à B}}{\text{longueur du côté adjacent à B}}
Exemple
Dans le triangle rectangle ABC ci-dessus :
\sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{5}=0,6
\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}=0,8
\tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}=0,75
Remarques
Les sinus, cosinus et tangente n’ont pas d’unité !
Les sinus et cosinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1. Par contre, la tangente peut être supérieure à 1.
Connaissant le sinus, il est possible de calculer la mesure de l’angle en degré à la calculatrice à l’aide de la touche \sin^{ – 1} (ou Arcsin ou asin suivant le modèle de la calculatrice). Vérifiez bien que la calculatrice est en mode degré !
Propriétés
Pour tout angle aigu \widehat{a} d’un triangle rectangle :
\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=1
\tan \widehat{a}=\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}
Remarque
Pour simplifier les notations, on écrit en général \cos^{2} \widehat{a} pour \left(\cos \widehat{a}\right)^{2}. La première formule s’écrit alors :
\cos^{2} \widehat{a}+\sin^{2} \widehat{a}=1
Démonstrations
\cos \widehat{a}=\dfrac{AB}{BC} donc \left(\cos \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}
\sin \widehat{a}=\dfrac{AC}{BC} donc \left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}
Par conséquent :
\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}
Or d’après le théorème de Pythagore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2} donc :
\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{BC^{2}}{BC^{2}}=1 après simplification par BC^{2}
\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}=\dfrac{\dfrac{AC}{BC}}{\dfrac{AB}{BC}}=\dfrac{AC}{BC}\times \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AC}{AB} après simplification par BC.
Or, \dfrac{AC}{AB}=\tan \widehat{a}, par conséquent :
\tan \widehat{a}=\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}.
Exemple
On sait que le cosinus d’un angle \widehat{a} vaut 0,5. Calculer une valeur approchée à 10^{ – 2} du sinus puis de la tangente de cet angle.
\cos^{2} \widehat{a}+\sin^{2} \widehat{a}=1
\sin^{2} \widehat{a}=1 – \cos^{2}\widehat{a}=1 – 0,5^{2}=0,75
\sin \widehat{a}=\sqrt{0,75}\approx 0,87 à 10^{ – 2} près
\tan \widehat{a}=\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}=\dfrac{\sqrt{0,75}}{0,5}\approx 1,73 à 10^{ – 2} près.