1. Suites arithmétiques
Définition
On dit qu’une suite \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique s’il existe un nombre r tel que, pour tout n\in \mathbb{N} :
u_{n+1}=u_{n}+r
Le réel r s’appelle la raison de la suite arithmétique.
Remarque
Pour démontrer qu’une suite \left(u_{n}\right) est arithmétique, on pourra calculer la différence u_{n+1} – u_{n}.
Si on constate que la différence est une constante r, on pourra affirmer que la suite est arithmétique de raison r.
Exemple
Soit la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=3n+5.
u_{n+1} – u_{n}=3\left(n+1\right)+5 – \left(3n+5\right) =3n+3+5 – 3n – 5=3
La suite \left(u_{n}\right) est une suite arithmétique de raison r=3
Propriété
Si la suite \left(u_{n}\right) est arithmétique de raison r alors pour tous entiers naturels n et k :
u_{n}=u_{k}+\left(n – k\right)\times r
En particulier :
u_{n}=u_{0}+n\times r
Exemple
Soit \left(u_{n}\right) la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u_{0}=5.
u_{100}=5+2\times 100=205
Propriété
Réciproquement, si a et b sont deux nombres réels et si la suite \left(u_{n}\right) est définie par u_{n}=a\times n+b alors cette suite est une suite arithmétique de raison r=a et de premier terme u_{0}=b.
Démonstration
u_{n+1} – u_{n}=a\left(n+1\right)+b – \left(an+b\right) =an+a+b – an – b=a
et
u_{0}=a\times 0+b=b
Propriété
La représentation graphique d’une suite arithmétique est formée de points alignés.
Remarque
Cela se déduit immédiatement du fait que, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n}=u_{0}+n\times r donc les points représentant la suite sont sur la droite d’équation y=rx+u_{0}
Exemple
Suite arithmétique de premier terme u_{0}=1 et de raison r=\dfrac{1}{2}
Théorème
Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r :
si r > 0 alors \left(u_{n}\right) est strictement croissante
si r=0 alors \left(u_{n}\right) est constante
si r < 0 alors \left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
Démonstration
Ce résultat découle immédiatement de u_{n+1} – u_{n}=r
Théorème (Somme des premiers entiers)
Pour tout entier n \in \mathbb{N} :
0+1+. . .+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}
Démonstration
Une démonstration astucieuse consiste à réécrire la somme en inversant l’ordre des termes :
S = 0 + 1 + 2 + . . . +
n(1)
S = n + n – 1 + n – 2 + . . . +
0(2)
Puis on additionne les lignes (1) et (2) termes à termes. Dans le membre de gauche on trouve que tous les termes sont égaux à n (0+n=n ; 1+n – 1=n ; 2 + n – 2=n, etc.). Comme en tout il y a n+1 termes on trouve :
S+S = n + n + n + . . . + n
2S = n\left(n+1\right)
S = \dfrac{n\left(n+1\right)}{2}
Exemple
Soit à calculer la somme S_{100}=1+2+. . .+100.
S_{100}=\dfrac{100\times 101}{2}=50\times 101=5050
2. Suites géométriques
Définition
On dit qu’une suite \left(u_{n}\right) est une suite géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout n\in \mathbb{N} :
u_{n+1}=q \times u_{n}
Le réel q s’appelle la raison de la suite géométrique \left(u_{n}\right).
Remarque
Pour démontrer qu’une suite \left(u_{n}\right) dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}.
Si ce rapport est une constante q, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison q.
Exemple
Soit la suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} définie par u_{n}=\dfrac{3}{2^{n}}.
Les termes de la suite sont tous strictement positifs et
\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{3}{2^{n+1}}\div\dfrac{3}{2^{n}}=\dfrac{3}{2^{n+1}}\times \dfrac{2^{n}}{3}=\dfrac{2^{n}}{2^{n+1}}=\dfrac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\dfrac{1}{2}
La suite \left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{2}
Propriété
Si la suite \left(u_{n}\right) est géométrique de raison q, pour tous entiers naturels n et k :
u_{n}=u_{k}\times q^{n – k}
En particulier :
u_{n}=u_{0}\times q^{n}
Propriété
Réciproquement, soient a et b deux nombres réels. La suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=a\times b^{n} suite est une suite géométrique de raison q=b et de premier terme u_{0}=a.
Démonstration
u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b
et
u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a
Théorème
Soit \left(u_{n}\right)une suite géométrique de raison q > 0 et de premier terme strictement positif :
Si q > 1, la suite \left(u_{n}\right) est strictement croissante
Si 0 < q < 1, la suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante
Si q=1, la suite \left(u_{n}\right)est constante
Remarques
Si le premier terme est strictement négatif, le sens de variation est inversé.
Si la raison est strictement négative, la suite n’est ni croissante ni décroissante.
Théorème
Pour tout entier n \in \mathbb{N} et tout réel q\neq 1
1+q+q^{2}+. . . +q^{n}=\dfrac{1 – q^{n+1}}{1 – q}
Remarque
Cette formule n’est pas valable pour q=1. Mais dans ce cas tous les termes de la somme valent 1; la somme est donc égale au nombre de termes n+1
Démonstration
On multiplie chaque membre par q. Cela incrémente chacun des exposants de q :
S = 1 + q + q^{2} + . . . +
q^{n}(1)
qS = q + q^{2} + q^{3} + . . . +
q^{n+1}(2)
On soustrait termes à termes les égalités (1) et (2); tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier :
S – qS = 1 – q+q – q^{2}+q^{2} – q^{3}+ . . . +q^{n} – q^{n+1}
\left(1 – q\right)S = 1 – q^{n+1}
S = \dfrac{1 – q^{n+1}}{1 – q}
Exemple
Soit à calculer la somme S=1+2+4+8+16. . .+2^{10}
S=\dfrac{1 – 2^{10+1}}{1 – 2}=\dfrac{1 – 2048}{1 – 2}=\dfrac{ – 2047}{ – 1}=2047