La fonction exponentielle est une fonction mathématique définie par f(x) = e^x, où e \approx 2.718. Cette fonction possède la propriété d’être égale à sa fonction dérivée.
Elle se caractérise par une croissance exponentielle rapide et est utilisée dans de nombreux domaines, y compris la finance, la biologie, et la physique. Comprendre ses propriétés et retenir l’allure de son graphique est essentiel pour les chapitres suivants .
1. Mesures en radians d’un angle orienté
Dans tout le chapitre, le plan \mathscr P est muni d’un repère orthonormé \left(O~; \vec{i} , \vec{j}\right).
Définition
Soit I le point de coordonnées \left(1~; 0\right) et d la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par I.
A tout réel x on associe le point N de la droite d d’ordonnée x puis le point M obtenu en enroulant la droite d sur le cercle trigonométrique (voir figure ci-dessous).
On dit que x est une mesure en radians de l’angle orienté \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OM}\right)
Mesures d’un angle orienté
Remarque
Une infinité de points de la droite d se superposent à M par enroulement (en faisant plusieurs tours). Chaque angle possède une infinité de mesures qui diffèrent entre elles d’un multiple de 2\pi. Si x est une mesure d’un angle, les autres mesures sont x+2\pi , x+4\pi , etc. et x – 2\pi , x – 4\pi, etc.
Ces différentes mesures s’écrivent x+2k\pi avec k \in \mathbb{Z}
On note de la même façon \left(\vec{u}, \vec{v}\right) l’angle orienté de \vec{u} vers \vec{v}et la mesure en radians de cet angle.
Propriété et définition (Mesure principale)
Tout angle orienté \left(\vec{u}, \vec{v}\right) possède une unique mesure dans l’intervalle \left] – \pi ~; \pi \right].
Cette mesure s’appelle la mesure principale de l’angle \left(\vec{u}, \vec{v}\right).
Exemple
Soit un angle dont une mesure est – \dfrac{5\pi }{2}. Comme – \dfrac{5\pi }{2} \notin \left] – \pi ~; \pi \right], ce n’est pas la mesure principale. Comme : – \dfrac{5\pi }{2} = – \dfrac{\pi }{2} – \dfrac{4\pi }{2} = – \dfrac{\pi }{2} – 2\pi et – \dfrac{\pi }{2}\in \left] – \pi ~; \pi \right], – \dfrac{\pi }{2} est la mesure principale de cet angle.
Mesures d’angles à connaitre
Mesures d’angles remarquables
| x | 0 | \dfrac{\pi }{6} | \dfrac{\pi }{4} | \dfrac{\pi }{3} | \dfrac{\pi }{2} | \dfrac{2\pi }{3} | \dfrac{3\pi }{4} | \dfrac{5\pi }{6} | \pi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \cos x | 1 | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{1}{2} | 0 | – \dfrac{1}{2} | – \dfrac{\sqrt{2}}{2} | – \dfrac{\sqrt{3}}{2} | – 1 |
| \sin x | 0 | \dfrac{1}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | 1 | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{1}{2} | 0 |
2. Sinus et cosinus – Equations trigonométriques
Définition
Soit M un point du cercle trigonométrique et x une mesure de l’angle \widehat{IOM}.
On appelle cosinus de x, noté \cos x l’abscisse du point M.
On appelle sinus de x, noté \sin x l’ordonnée du point M
Sinus et cosinus
Remarques
Pour tout réel x :
– 1 \leqslant \cos x \leqslant 1
– 1 \leqslant \sin x \leqslant 1
Comme M appartient au cercle trigonométrique, OM=1 donc OM^{2}=1=1 donc :
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1 (\sin^{2}x étant une écriture abrégée pour \left(\sin x\right)^{2})
Valeurs de sinus et de cosinus à retenir
| x | -\dfrac{\pi }{6} | -\dfrac{\pi }{4} | -\dfrac{\pi }{3} | -\dfrac{\pi }{2} | -\dfrac{2\pi }{3} | -\dfrac{3\pi }{4} | -\dfrac{5\pi }{6} | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \cos x | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{1}{2} | 0 | – \dfrac{1}{2} | – \dfrac{\sqrt{2}}{2} | – \dfrac{\sqrt{3}}{2} | |
| \sin x | – \dfrac{1}{2} | – \dfrac{\sqrt{2}}{2} | – \dfrac{\sqrt{3}}{2} | – 1 | – \dfrac{\sqrt{3}}{2} | – \dfrac{\sqrt{2}}{2} | – \dfrac{1}{2} |
Propriétés
Pour tout réel x :
\sin\left( – x\right)= – \sin\left(x\right)
\cos\left( – x\right)=\cos\left(x\right)
\sin\left(\pi +x\right)= – \sin\left(x\right)
\cos\left(\pi +x\right)= – \cos\left(x\right)
Angles x, – x et \pi+x
Formules d’addition
Pour tous réels a et b :
\cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right) \cos\left(b\right) – \sin\left(a\right) \sin\left(b\right)
\sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right) \cos\left(b\right)+\cos\left(a\right) \sin\left(b\right)
Théorème
Soit a un réel fixé.
Les solutions de l’équation \cos\left(x\right)=\cos\left(a\right) sont les réels de la forme :
a+2k\pi ou – a+2k\pi où k décrit \mathbb{Z}
Exemple
On cherche à résoudre l’équation \cos\left(x\right)=0
On sait que \cos\left(\dfrac{\pi }{2}\right)=0 ce qui fournit une solution de l’équation mais permet aussi d’écrire l’équation sous la forme \cos\left(x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi }{2}\right)
D’après le théorème ci-dessus les solutions sont de la forme :
x=\dfrac{\pi }{2}+2k\pi ou x= – \dfrac{\pi }{2}+2k\pi avec k \in \mathbb{Z}
Théorème
Soit a un réel fixé.
Les solutions de l’équation \sin\left(x\right)=\sin\left(a\right) sont les réels de la forme :
a+2k\pi ou \pi – a+2k\pi où k décrit \mathbb{Z}