1. Produit scalaire de deux vecteurs
Définition
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.
On appelle produit scalaire de \vec{u} et \vec{v} le nombre réel noté \vec{u}.\vec{v} défini par :
\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)
Remarques
Attention : le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur !
On rappelle que ||\overrightarrow{AB}|| (norme du vecteur \overrightarrow{AB}) désigne la longueur du segment AB.
Si l’un des vecteurs \vec{u} ou \vec{v} est nul, \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) n’est pas défini; on considérera alors que le produit scalaire \vec{u}.\vec{v} vaut 0
Le cosinus d’un angle étant égal au cosinus de l’angle opposé : \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=\cos\left(\vec{v}, \vec{u}\right). Par conséquent \vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}
Propriété
Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si et seulement si : \vec{u}.\vec{v}=0
Démonstration
Si l’un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.
Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :
\vec{u}.\vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux
Propriété
Pour tous vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout réel k :
\left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k \left(\vec{u}.\vec{v}\right)
\vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}
Définition et propriété
Soit \vec{u} un vecteur du plan. Le carré scalaire de \vec{u} est le réel positif ou nul :
\vec{u}^{2}=\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^{2}
Démonstration
Le cosinus d’un angle nul vaut 1 donc \cos\left(\vec{u}, \vec{u}\right)=1. Par conséquent :
\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{u}\right)=||\vec{u}||^{2}
Théorème
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right), soient \vec{u}\left(x; y\right) et \vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) deux vecteurs du plan; alors :
\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}
Démonstration
Dire que \vec{u} a pour coordonnées \left(x ; y\right) signifie que \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}. De même \vec{v}=x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}
\vec{u}.\vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}\right)=xx^{\prime}\vec{i}^{2}+xy^{\prime}\vec{i}.\vec{j}+x^{\prime}y\vec{i}.\vec{j}+yy^{\prime}\vec{j}^{2}
Or, comme le repère \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) est orthonormé, \vec{i}^{2}=||\vec{i}||^{2}=1, \vec{j}^{2}=||\vec{j}||^{2}=1 et \vec{i}.\vec{j}=0. Par conséquent :
\vec{u}.\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}
2. Applications du produit scalaire
Théorème (de la médiane)
Soient ABC un triangle quelconque et I le milieu de \left[BC\right]. Alors :
AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\dfrac{BC^{2}}{2}
Médiane dans un triangle
Remarque
La démonstration est laissée en exercice : Exercice théorème de la médiane
Propriété (Formule d’Al Kashi)
Soit ABC un triangle quelconque :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} – 2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)
Remarque
La démonstration est faite en exercice : Exercice formule d’Al Kashi
Si le triangle ABC est rectangle en A alors \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0. On retrouve alors le théorème de Pythagore.
Définition (Vecteur normal à une droite)
On dit qu’un vecteur \vec{n} non nul est normal à la droite d si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de d.
Vecteur \vec{n} normal à la droite d
Théorème
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right), la droite d de vecteur normal \vec{n} \left(a ; b\right) admet une équation cartésienne de la forme :
ax+by+c=0
où a, b, c étant des réels avec a\neq 0 ou b\neq 0) est une droite dont un vecteur normal est \vec{n}\left(a ; b\right).
Remarque
La démonstration est laissée en exercice : Exercice vecteur normal à une droite
Théorème (équation cartésienne d’un cercle)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right).
Soit I \left(x_{I} ; y_{I}\right) un point quelconque du plan et r un réel positif.
Une équation du cercle de centre I et de rayon r est :
\left(x – x_{I}\right)^{2}+\left(y – y_{I}\right)^{2}=r^{2}
Démonstration
Le point M \left(x ; y\right) appartient au cercle si et seulement si IM=r. Comme IM et r sont positif cela équivaut à IM^{2}=r^{2}. Or IM^{2}= \left(x – x_{I}\right)^{2}+\left(y – y_{I}\right)^{2}; on obtient donc le résultat souhaité.
Exemple
Le cercle de centre \Omega \left(3;4\right) et de rayon 5 a pour équation :
\left(x – 3\right)^{2}+\left(y – 4\right)^{2}=25
x^{2} – 6x+9+y^{2} – 8y+16=25
x^{2} – 6x+y^{2} – 8y=0
Ce cercle passe par O car on obtient une égalité juste en remplaçant x et y par 0.
Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d’addition des sinus et cosinus (voir exercice soustraction des cosinus)