I – Conditionnement
Définition
A et B étant deux événements tels que p\left(A\right)\neq 0, la probabilité de B sachant A est le nombre réel :
p_{A}\left(B\right)=\dfrac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)}
Remarques
On note parfois p\left(B/A\right) au lieu de p_{A}\left(B\right).
Rappel : Le signe \cap (intersection) correspond à et.
De même si p\left(B\right)\neq 0, la probabilité de A sachant B est p_{B}\left(A\right)=\dfrac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(B\right)}.
Exemple
Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On tire successivement 2 boules sans remise On note :
B_{1} l’événement la première boule tirée est blanche
B_{2} l’événement la seconde boule tirée est blanche
la probabilité p_{B_{1}}\left(B_{2}\right) est la probabilité que la seconde boule soit blanche sachant que la première était blanche. Pour la calculer, on se place dans la situation où l’on se trouve après avoir obtenu une boule blanche au premier tirage. Il reste alors 6 boules dans l’urne; 2 sont blanches et 4 sont rouges.
La probabilité de tirer une boule blanche au second tirage est donc :
p_{B_{1}}\left(B_{2}\right)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}
Cette probabilité se place sur l’arbre de la façon suivante :
On peut calculer de même p_{\overline{B_{1}}}\left(B_{2}\right) est la probabilité que la seconde boule soit blanche sachant que la première était rouge. Il reste alors 3 boules blanches et 3 boules rouges après le premier tirage donc :
p_{\overline{B_{1}}}\left(B_{2}\right)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
et on peut compléter l’arbre :
Propriété
De la définition précédente, on déduit immédiatement que :
p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)
Remarque
Attention à ne pas confondre :
p\left(A \cap B\right) qui est la probabilité que A et B soient réalisés alors qu’on ne possède aucune indication sur la réalisation de A ou de B
p_{A}\left(B\right) qui est la probabilité que B soit réalisé alors qu’on sait déjà que A est réalisé.
Exemple
Si l’on reprend l’exemple précédent, la probabilité de tirer 2 boules blanches est p\left(B_{1} \cap B_{2}\right) (il faut que la première boule soit blanche et que la seconde boule soit blanche).
D’après la formule précédente :
p\left(B_{1} \cap B_{2}\right)=p\left(B_{1}\right)\times p_{B_{1}}\left(B_{2}\right)=\dfrac{3}{7}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{7}
II – Formule des probabilités totales
Définition
On dit que les événements A_{1}, A_{2}, . . . , A_{n} forment une partition de l’univers \Omega si chaque élément de \Omega appartient à un et un seul des A_{i}
Exemple
On lance un dé à 6 faces. On peut modéliser cette expérience par l’univers \Omega = \left\{1; 2; 3; 4; 5; 6\right\}.
Les événements :
A_{1}=\left\{1; 2\right\} (le résultat est inférieur à 3)
A_{2}=\left\{3\right\} (le résultat est égal à 3)
A_{3}=\left\{4; 5; 6\right\} (le résultat est supérieur à 3)
forment une partition de \Omega. En effet, chacune des six éventualités 1, 2, 3, 4, 5, 6 appartient à et à un seul des A_{i}.
Remarque
A et \overline{A} forment une partition de l’univers, quel que soit l’événement A. En effet, toute éventualité appartient soit à un événement, soit à son contraire et ne peut appartenir au deux en même temps.
Théorème (Formule des probabilités totales)
Soit A_{1}, A_{2}, . . . , A_{n} une partition de l’univers \Omega. Pour tout événement B :
p\left(B\right)=p\left(A_{1} \cap B\right) + p\left(A_{2} \cap B\right) + . . . + p\left(A_{n} \cap B\right)
p\left(B\right)=p\left(A_{1}\right)\times p_{A_{1}}\left(B\right) + p\left(A_{2}\right)\times p_{A_{2}}\left(B\right) + . . . + p\left(A_{n}\right)\times p_{A_{n}}\left(B\right)
Cas particulier fréquent
Comme A et \overline{A} forme une partition de l’univers :
p\left(B\right)=p\left(A \cap B\right) + p\left(\overline{A} \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right) + p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}\left(B\right)
Remarque
Le diagramme ci-dessous montre, sur un arbre, les chemins à prendre en compte pour calculer p\left(B\right). Ce sont les chemins qui aboutissent à B.
Exemple
Si on reprend l’exemple ci-dessus, la probabilité que la seconde boule soit blanche est :
p\left(B_{2}\right)=p\left(B_{1} \cap B_{2}\right) + p\left(\overline{B_{1}} \cap B_{2}\right)
p\left(B_{2}\right)=p\left(B_{1}\right)\times p_{B_{1}}\left(B_{2}\right) + p\left(\overline{B_{1}}\right)\times p_{\overline{B_{1}}}\left(B_{2}\right)
p\left(B_{2}\right)=\dfrac{3}{7}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{7}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{3}{7}