Primitives d’une fonction
Définition
Soit f une fonction définie sur I.
On dit que F est une primitive de f sur l’intervalle I, si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout x de I, F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right).
Exemple
La fonction F: ~x\mapsto x^{2} est une primitive de la fonction f:~x\mapsto 2x sur \mathbb{R}.
La fonction G: ~x\mapsto x^{2}+1 est aussi une primitive de cette même fonction f.
Propriété
Si F est une primitive de f sur I, alors les autres primitives de f sur I sont les fonctions de la forme F+k où k\in \mathbb{R}.
Remarque
Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de f mais une primitive de f.
Exemple
Les primitives de la fonction f:~x\mapsto 2x sont les fonctions F:~ x\mapsto x^{2}+k où k\in \mathbb{R}.
Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Propriétés
Primitives des fonctions usuelles :
| Fonction f | Primitives F | Ensemble de validité |
|---|---|---|
| 0 | k | \mathbb{R} |
| a | ax+k | \mathbb{R} |
| x^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right) | \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k | \mathbb{R} |
| \dfrac{1}{x^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right) | – \dfrac{1}{\left(n – 1\right)x^{n – 1}}+k | \mathbb{R} – \left\{0\right\} |
| \dfrac{1}{x} | \ln x+k | \left]0;+\infty \right[ |
| e^{x} | e^{x}+k | \mathbb{R} |
Propriétés
Si f et g sont deux fonctions définies sur I et admettant respectivement F et G comme primitives sur I et k un réel quelconque.
F+G est une primitive de la fonction f+g sur I.
kF est une primitive de la fonction kf sur I.
Propriétés
Primitives et fonctions composées
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
| Fonction f | Primitives F | Condition |
|---|---|---|
| u^{\prime}u^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right) | \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+k | |
| \dfrac{u^{\prime}}{u} | \ln u+k | si u\left(x\right)>0 |
| \dfrac{u^{\prime}}{u^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right) | – \dfrac{1}{\left(n – 1\right)u^{n – 1}}+k | si u\left(x\right)\neq 0 |
| \dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}} | 2\sqrt{u}+k | si u\left(x\right)>0 |
| u^{\prime}e^{u} | e^{u}+k |
Exemple
La fonction x\mapsto \dfrac{2x}{x^{2}+1} admet comme primitives les fonctions de la forme x\mapsto \ln\left(x^{2}+1\right)+k sur tout intervalle de \mathbb{R} (forme \dfrac{u^{\prime}}{u}).
Intégrales
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle \left[a;b\right] et F une primitive de f sur \left[a;b\right]. L’intégrale de a à b de f est le nombre réel noté \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x défini par:
\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(b\right) – F\left(a\right).
Remarques
L’intégrale ne dépend pas de la primitive de f choisie.
En effet si G est une autre primitive de f, on a G=F+k donc :
G\left(b\right) – G\left(a\right)=F\left(b\right)+k – \left(F\left(a\right)+k\right)=F\left(b\right) – F\left(a\right)
Dans l’expression \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x, x est une variable muette . C’est à dire que l’on ne change pas l’expression si on remplace x par une autre lettre. En pratique, on emploie souvent la lettre t notamment lorsque la lettre x est employée par ailleurs.
Notations
On note souvent : F\left(b\right) – F\left(a\right)=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}.
On a avec cette notation :
\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}.
Exemple
La fonction F définie par F\left(x\right)=\dfrac{x^{3}}{3} est une primitive de la fonction carré.
On a donc :
\int_{0}^{1}x^{2}\text{d}x=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3} – \dfrac{0}{3}=\dfrac{1}{3}.
Théorème (intégrale fonction de sa borne supérieure)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a \in I; la fonction définie sur I par : x\mapsto \int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t est la primitive de f qui s’annule pour x=a.
Démonstration
Soit F une primitive (quelconque) de f. Posons \Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t
\Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t=F\left(x\right) – F\left(a\right)
donc:
\Phi ^{\prime}\left(x\right)=F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right).
Ce qui prouve que \Phi est aussi une primitive de f.
De plus \Phi \left(a\right)=F\left(a\right) – F\left(a\right)=0.
Remarque
Notez bien la position du x en borne supérieure de l’intégrale.
Exemple
La fonction définie sur \left[0 ; +\infty \right[ x\mapsto \int_{1}^{ x}\dfrac{1}{t}\text{d}t (on peut aussi écrire \int_{1}^{ x}\dfrac{\text{d}t}{t}) est la primitive de la fonction inverse qui s’annule pour x=1. C’est donc la fonction logarithme népérien:
\ln\left(x\right)= \int_{1}^{ x}\dfrac{\text{d}t}{t}.
Propriété
Relation de Chasles
Soit f une fonction continue sur \left[a;b\right] et c\in \left[a;b\right].
\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{c}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{c}^{b}f\left(x\right)\text{d}x.
Propriété
Linéarité de l’intégrale
Soit f et g deux fonctions continues sur \left[a;b\right] et \lambda \in \mathbb{R}.
\int_{a}^{b}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x
\int_{a}^{b} \lambda f\left(x\right)\text{d}x=\lambda \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x
Propriété
Comparaison d’intégrales
Soit f et g deux fonctions continues sur \left[a;b\right] telles que f\geqslant g sur \left[a;b\right].
\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x\geqslant \int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x.
Remarque
En particulier, en prenant pour g la fonction nulle on obtient si f\left(x\right)\geqslant 0 sur \left[a;b\right]:
\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x\geqslant 0.
Interprétation graphique
Définition
Le plan P est rapporté à un repère orthogonal \left(O,\vec{i},\vec{j}\right).
On appelle unité d’aire (u.a.) l’aire d’un rectangle (qui est un carré si le repère est orthonormé) dont les côtés mesurent ||\vec{i}|| et ||\vec{j}||.
Unité d’aire dans le cas d’un repère orthonormé
Propriété
Si f est une fonction continue et positive sur \left[a;b\right], alors l’intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x est l’aire, en unités d’aire, de la surface délimitée par :
la courbe C_{f},
l’axe des abscisses,
les droites (verticales) d’équations x=a et x=b.
Exemple
L’aire colorée ci-dessus est égale (en unités d’aire) à \int_{1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x.
Remarques
Si f est négative sur \left[a;b\right], la propriété précédente appliquée à la fonction – f montre que \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x est égale à l’opposé de l’aire délimitée par la courbe C_{f}, l’axe des abscisses, les droites d’équations x=a et x=b.
Si le signe de f varie sur \left[a;b\right], on découpe \left[a;b\right] en sous-intervalles sur lesquels f garde un signe constant.
Propriété
Si f et g sont des fonctions continues et telles que f\leqslant g sur \left[a;b\right], alors l’aire de la surface délimitée par :
la courbe C_{f},
la courbe C_{g},
les droites (verticales) d’équations x=a et x=b.
est égale (en unités d’aire) à :
A=\int_{a}^{b}\left(g\left(x\right) – f\left(x\right)\right)\text{d}x.
Exemple
f et g définies par f\left(x\right)=x^{2} – x et g\left(x\right)=3x – x^{2} sont représentées par les paraboles ci-dessous :
L’aire colorée est égale (en unités d’aire) à :
A=\int_{0}^{2}\left(g\left(x\right) – f\left(x\right)\right)\text{d}x=\int_{0}^{2} \left(4x – 2x^{2}\right)\text{d}x=\left[2x^{2} – \dfrac{2}{3}x^{3}\right]_{0}^{2}=\dfrac{8}{3} \text{u.a.}
Equation différentielle
Définition
Une équation différentielle est une égalité mettant en relation une fonction et sa dérivée (ou ses dérivées successives).
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, consiste à trouver l’ensemble des fonctions dérivables sur I qui vérifie l’égalité pour tout x\in I
Démonstration
Attention aux notations : Dans une équation différentielle, l’usage est de noter y pour f\left(x\right), y^{\prime} pour f^{\prime}\left(x\right) etc. L’équation différentielle f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)+x s’écrira par exemple y^{\prime}=y+x. Cette notation ne doit pas faire oublier que les solutions recherchées sont des fonctions!
Exemple
La fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 est une solution, sur \mathbb{R}, de l’équation différentielle: 2y=xy^{\prime}.
En effet : f\left(x\right)=x^{2} et f^{\prime}\left(x\right)=2x donc 2f\left(x\right)=x\times f^{\prime}\left(x\right)
Théorème
Les solutions, sur \mathbb{R}, de l’équation différentielle y^{\prime}=ay (où a\in \mathbb{R}) sont les fonctions définies par f\left(x\right)=Ke^{ax} où K est un réel quelconque.
Démonstration
Soit une fonction f définie par f\left(x\right)=Ke^{ax} où K est un réel quelconque. f^{\prime}\left(x\right)=aKe^{ax} donc f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right) et f est bien solution de l’équation différentielle y^{\prime}=ay
Réciproquement, soit f une solution de l’équation différentielle y^{\prime}=ay. On a f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right) pour tout x\in \mathbb{R}. Posons g\left(x\right)=f\left(x\right)e^{ – ax}. g est dérivable sur \mathbb{R} et : g^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)e^{ – ax} – af\left(x\right)e^{ – ax} =\left(f^{\prime}\left(x\right) – af\left(x\right)\right)e^{ – ax}=0. g est donc une fonction constante : g\left(x\right)=K. Donc f\left(x\right)e^{ – ax}=K, c’est à dire en multipliant chaque membre par e^{ax}: f\left(x\right)=Ke^{ax}
Théorème
Les solutions, sur \mathbb{R}, de l’équation différentielle y^{\prime}=ay+b ( où a\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} et b\in \mathbb{R}) sont les fonctions définies par f\left(x\right)=Ke^{ax} – \dfrac{b}{a} où K est un réel quelconque.
Théorème
Soit \left(x_{0}, y_{0}\right) un couple de réels. Il existe une unique fonction f solution sur \mathbb{R} de l’équation différentielle y^{\prime}=ay+b ( où a\in \mathbb{R} et b\in \mathbb{R}) vérifiant la condtion f\left(x_{0}\right)=y_{0}
Remarques
La condition f\left(x_{0}\right)=y_{0} est souvent appelée condition initiale.