1. Part en pourcentage
Définition
Soit E un ensemble fini (que l’on appellera ensemble de référence) et F une partie de l’ensemble E. La part en pourcentage de F par rapport à E est le nombre :
t \% =\dfrac{t}{100}= \dfrac{card \left(F\right)}{card \left(E\right)}
où card \left(E\right) (cardinal de E) désigne le nombre d’éléments de E et card \left(F\right) le nombre d’éléments de F.
On dit également que F représente t\% de E.
Remarques
5\%, \dfrac{5}{100} et 0,05 sont trois écritures différentes du même nombre (pourcentage, fraction, écriture décimale).
On est en présence d’une situation de proportionnalité que l’on peut représenter par le tableau suivant :
t nombre d’éléments de F 100 nombre d’éléments de E Ceci peut également s’écrire : nombre d’éléments de F =\dfrac{t}{100} \times nombre d’éléments de E.
Cette dernière égalité permet de calculer le nombre d’éléments de F connaissant sa part en pourcentage par rapport à E
Exemples
Dans une classe de 25 élèves qui compte 15 garçons le pourcentage de garçons est :
\dfrac{15}{25}=0,6=\dfrac{60}{100}=60\%
16\% de 75€ font : \dfrac{16}{100}\times 75=12€
Propriété
Pourcentages de pourcentages Soit 3 ensembles E, F, G tels que G \subset F \subset E.
Si G représente t_{1}\% de F et si F représente t_{2}\% de E, la part en pourcentage de G par rapport à E est :
\dfrac{t}{100}=\dfrac{t_{1}}{100}\times \dfrac{t_{2}}{100}
Exemple
Dans un lycée de 800 élèves :
25\% des élèves sont en Seconde;
45\% des élèves de Seconde sont des filles.
La part des filles de Seconde dans le lycée est :
\dfrac{t}{100}=\dfrac{25}{100}\times \dfrac{45}{100}=\dfrac{1125}{10000}=\dfrac{11,25}{100}=11,25\%
Le nombre de filles en Seconde est \dfrac{11,25}{100}\times 800=90
2. Pourcentages d’évolution
Définition
On considère une quantité passant d’une valeur V_{0} à une valeur V_{1}.
Le pourcentage d’évolution de cette quantité est le nombre
\dfrac{t}{100}=\dfrac{V_{1} – V_{0}}{V_{0}}
Remarques
Le pourcentage d’évolution est positif dans le cas d’une augmentation et négatif dans le cas d’une diminution.
Exemple
Le prix d’un article passe de 80€ à 76€. Le pourcentage d’évolution est :
\dfrac{t}{100}=\dfrac{76 – 80}{80}= – \dfrac{4}{80}= – 0,05= – 5\%
Le prix de l’article a diminué de 5
Définition
On considère une quantité passant d’une valeur V_{0} à une valeur V_{1}.
Le coefficient multiplicateur est le nombre par lequel il faut multiplier V_{0} pour obtenir V_{1} :
V_{1}=CM \times V_{0}
Remarques
On a donc CM=\dfrac{V_{1}}{V_{0}}
Le coefficient multiplicateur est supérieur à 1 dans le cas d’une augmentation et inférieur à 1 dans le cas d’une diminution.
La fonction qui à l’ancienne valeur associe la nouvelle valeur est : x\mapsto CM\times x
C’est une fonction linéaire de coefficient directeur CM
Propriété
Le coefficient multiplicateur s’exprime en fonction du pourcentage d’évolution par:
CM=1+\dfrac{t}{100}
(où t est positif en cas d’augmentation, négatif en cas de diminution)
Remarques
On a donc : V_{1}=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)V_{0}.
Dans le cas d’une diminution de 5
CM=1+\dfrac{t}{100} avec t= – 5
ou
CM=1 – \dfrac{t}{100} avec t=5
Dans les deux raisonnements, on obtient évidemment le même coefficient multiplicateur 0,95.
Connaissant le coefficient multiplicateur, on a facilement le pourcentage d’évolution grâce à la relation : \dfrac{t}{100}=CM – 1
Le tableau ci-dessous résume les différents cas :
Prendre t\% de x Augmenter x de t\% Diminuer x de t\% Calculs à effectuer Multiplier x par \dfrac{t}{100} Multiplier x par 1+\dfrac{t}{100} Multiplier x par 1 – \dfrac{t}{100} Fonction linéaire x\mapsto \dfrac{t}{100}\times x x\mapsto \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times x x\mapsto \left(1 – \dfrac{t}{100}\right)\times x
Exemple
| Prendre 25\% de x | Augmenter x de 25\% | Diminuer x de 25\% | |
|---|---|---|---|
| Calculs à effectuer | Multiplier x par \dfrac{25}{100} | Multiplier x par 1,25 | Multiplier x par 0,75 |
| Fonction linéaire | x\mapsto 0,25\times x | x\mapsto 1,25\times x | x\mapsto 0,75\times x |
| Exemples | Prendre 25\% de 200 | Augmenter 50 de 25\% | Diminuer 50 de 25\% |
| Résultat | 0,25\times 200=50 | 1,25\times 50=62,5 | 0,75\times 50=37,5 |
Propriété (Évolutions successives)
Lors d’évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution
Exemple
Le prix d’un objet augmente de 10\% puis diminue de 10\%.
Le coefficient multiplicateur global est :
CM=\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\left(1 – \dfrac{10}{100}\right)=0,99
Si t désigne le pourcentage d’évolution global en
1+ \dfrac{t}{100}=0,99
\dfrac{t}{100}=0,99 – 1= – 0,01= – \dfrac{1}{100}
Le prix de l’objet a globalement diminué de 1\%.
Remarques
Une hausse de t\% ne compense pas une baisse de t\%. C’est dû au fait que les deux pourcentages ne portent pas sur le même montant.
En effet, si un objet coûtant 100 euros subit une augmentation de 10\% son prix passera à 110€ (les 10\% ont été calculé par rapport à 100€).
Si son prix subit ensuite une diminution de 10\%, le montant de la baisse sera calculé par rapport au prix de 110€ et non plus de 100€. La baisse sera donc de 11€ et non 10€.
En cas d’évolution successives, les pourcentages d’évolutions ne s’ajoutent (ni ne soustraient) jamais.
Définition et propriété (Taux d’évolution réciproque)
Si le taux d’évolution t \% fait passer de V_{0} à V_{1}, on appelle taux d’évolution réciproque t^{\prime} \%, le taux d’évolution qui fait passer de V_{1} à V_{0}.
On a alors la relation suivante :
\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\left(1+\dfrac{t^{\prime}}{100}\right)=1
Exemple
Le prix d’un article augmente de 60 Pour qu’il revienne à son prix de départ, il faut qu’ensuite il varie de t^{\prime} \% tel que :
\left(1+\dfrac{60}{100}\right)\left(1+\dfrac{t^{\prime}}{100}\right)=1
1,6\times \left(1+\dfrac{t^{\prime}}{100}\right)=1
1+\dfrac{t^{\prime}}{100}=\dfrac{1}{1,6}
1+\dfrac{t^{\prime}}{100}=0,625
\dfrac{t^{\prime}}{100}= – 0,375
t^{\prime}= – 37,5
Il faut donc que le prix diminue de 37,5\% pour compenser la hausse de 60\%.