1. Représentation géométrique d’un nombre complexe
Le plan (P) est muni d’un repère orthonormé (O; \vec{u}, \vec{v})
Définitions
A tout nombre complexe z=a+ib, on associe le point M de coordonnées (a ; b)
On dit que M est l’image de z et que z est l’affixe du point M.
A tout vecteur \vec{k} de coordonnées (a ; b) on associe le nombre complexe z=a+ib.
On dit que z est l’affixe du vecteur \vec{k}.
Propriétés
M appartient à l’axe des abscisses si et seulement si son affixe z est un nombre réel
M appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si son affixe z est un nombre imaginaire pur
Deux nombres complexes conjugués ont des affixes symétriques par rapport à l’axe des abscisses
Propriétés
Soient A et B deux points d’affixes respectives z_{A} et z_{B}.
l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB} est égale à :
z_{\overrightarrow{AB}}= z_{B} – z_{A}
l’affixe du milieu M du segment [AB] est égale à :
z_{M}= \dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}
Propriétés
Soient \vec{w}(z) et \overrightarrow{w^{\prime}}(z^{\prime}) deux vecteurs du plan et k un nombre réel.
Le vecteur \vec{w}+\overrightarrow{w^{\prime}} a pour affixe z+z^{\prime}
Le vecteur k\vec{w} a pour affixe kz.
2. Forme trigonométrique
Définition
Soit z un nombre complexe non nul d’image M dans le repère (O; \vec{u}, \vec{v}).
On appelle module de z, et on note |z| le nombre réel positif ou nul |z|= \sqrt{a^{2}+b^{2}}.
On appelle argument de z et on note \text{arg}(z) une mesure, exprimée en radians, de l’angle
(\vec{u}; \overrightarrow{OM}).
Propriétés des modules
Pour tous nombres complexes z et z^{\prime} :
|z|^{2} = z\times \overline{z}
|zz^{\prime}| = |z|\times |z^{\prime}|
|\dfrac{z}{z^{\prime}}| = \dfrac{|z|}{|z^{\prime}|} pour z^{\prime}\neq 0
Propriétés des arguments
Pour tous nombres complexes z et z^{\prime} non nuls et tout entier n\in \mathbb{Z} :
\text{arg}(\overline{z})= – \text{arg}(z)
\text{arg}(zz^{\prime})=\text{arg}(z)+\text{arg}(z^{\prime})
\text{arg}(z^{n})=n\times \text{arg}(z)
\text{arg}(\dfrac{z}{z^{\prime}})=\text{arg}(z) – \text{arg}(z^{\prime})
Remarque
En particulier :
\text{arg}( – z)=\text{arg}(z)+\text{arg}( – 1) = \text{arg}(z)+\pi
\text{arg}(\dfrac{1}{z})=\text{arg}(1) – \text{arg}(z) = – \text{arg}(z)
Théorème et définition
Soit z un nombre complexe non nul de module r et d’argument \theta :
z=r\left(\cos\theta + i \sin\theta \right)
Cette écriture s’appelle forme trigonométrique du nombre z.
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Soit z=a+ib un nombre complexe non nul.
r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
\theta =\text{arg}(z) est défini par :
cos \theta = \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} et \sin \theta = \dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Exemple
Soit z=\sqrt{3}+i.
|z|=\sqrt{3+1}=2
Si \theta est un argument de z :
cos \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2} et \sin \theta =\dfrac{1}{2} donc \theta =\dfrac{\pi }{6} \left(\text{mod. } 2\pi \right)
La forme trigonométrique de z est donc :
z=2\left(\cos \dfrac{\pi }{6} + i \sin \dfrac{\pi }{6}\right)
Angle de vecteurs et arguments
Soit A, B et C trois points du plan d’afixes respectives z_{A},z_{B}, z_{C} avec A\neq B et A\neq C :
(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})= \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right)
Remarques
Notez bien l’ordre des affixes (inverse de l’ordre des points dans l’écriture de l’angle).
Premier cas particulier important :
A, B et C sont alignés \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right) = 0~\text{ou}~\pi~\left[\text{mod. } 2\pi \right] \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}} \in \mathbb{R}
Second cas particulier important :
\widehat{BAC} est un angle droit \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right) = \pm \dfrac{\pi }{2} ~ \left[\text{mod. } 2\pi \right] \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}} est un imaginaire pur.
3. Forme exponentielle
Notation
Si z est un nombre complexe de module r et d’argument \theta, la notation exponentielle du nombre z est :
z=re^{i\theta }
Remarque
Ce sont les propriétés des arguments :
\text{arg}(zz^{\prime})=\text{arg}(z)+\text{arg}(z^{\prime})
\text{arg}(z^{n})=n\times \text{arg}(z)
\text{arg}(\dfrac{z}{z^{\prime}})=\text{arg}(z) – \text{arg}(z^{\prime})
similaires aux propriétés de l’exponentielle qui justifient cette notation.
Exemple
Le nombre – 1 a pour module 1 et pour argument \pi \left(\text{mod. } 2\pi \right). On peut donc écrire :
– 1=e^{i\pi } ou encore e^{i\pi }+1=0.
C’est la célèbre identité d’Euler qui relie 0, 1, e, i et \pi.
Les propriétés des arguments vues précédemment s’écrivent alors :
Propriétés
Pour tous réels \theta et \theta ^{\prime} :
e^{i\theta }\times e^{i\theta ^{\prime}}=e^{i\left(\theta +\theta ^{\prime}\right)}
\left(e^{i\theta }\right)^{n}=e^{in\theta }
\dfrac{e^{i\theta }}{e^{i\theta ^{\prime}}}=e^{i\left(\theta – \theta ^{\prime}\right)}.