1. Ensemble des nombres complexes
Théorème et Définition
On admet qu’il existe un ensemble de nombres (appelés nombres complexes), noté \mathbb{C} tel que:
\mathbb{C} contient \mathbb{R}
\mathbb{C} est muni d’une addition et d’une multiplication qui suivent des règles de calcul analogues à celles de \mathbb{R}
\mathbb{C} contient un nombre noté i tel que i^{2}= – 1
Chaque élément z de \mathbb{C} s’écrit de manière unique sous la forme z=a+ib où a et b sont deux réels.
Exemple
\sqrt{5}+\dfrac{1}{2}i , 3i et \sqrt{2} sont des nombres complexes (\sqrt{2} est un nombre réel mais comme \mathbb{R}\subset\mathbb{C} c’est aussi un nombre complexe !)
Remarque
Attention : On définit une addition et une multiplication sur \mathbb{C} mais on ne définit pas de relation d’ordre (comme \leqslant). En effet il n’est pas possible de définir une telle relation qui soit compatible avec celle définie sur \mathbb{R} et possède les même propriétés que dans \mathbb{R}.
Dans les exercices, attention donc à ne pas écrire de choses comme z < z^{\prime}, si z et z^{\prime} sont des nombres complexes non réels !
Définitions
L’écriture z = a+ib est appelée la forme algébrique du nombre complexe z.
Le nombre réel a s’appelle la partie réelle du nombre complexe z.
Le nombre réel b s’appelle la partie imaginaire du nombre complexe z.
Si la partie réelle de z est nulle (c’est à dire a=0 et z=bi), on dit que z est un imaginaire pur .
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Remarques
Cela résulte immédiatement du fait que chaque élément de \mathbb{C} s’écrit de manière unique sous la forme z=a+ib.
En particulier, un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.
2. Conjugué
Définition
Soit z le nombre complexe z=a+ib.On appelle conjugué de z, le nombre complexe
\overline{z}=a – ib.
Exemple
Soit z=3+4i
Le conjugué de z est \overline{z}=3 – 4i.
Propriétés des conjugués
Pour tous nombres complexes z et z^{\prime} et tout entier naturel n :
\overline{z+z^{\prime}} = \overline{z}+\overline{z}^{\prime}
\overline{zz^{\prime}} = \overline{z}\times \overline{z}^{\prime}
\overline{\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} pour z^{\prime}\neq 0
\overline{\left(z^{n}\right)} = \left(\overline{z}\right)^{n}.
Remarques
Par contre, en général, |z+z^{\prime}| n’est pas égal à |z|+|z^{\prime}|. On peut juste montrer que |z+z^{\prime}| \leqslant |z|+|z^{\prime}| (inégalité triangulaire) ;
ROC : La démonstration de certaines de ces propriétés a été demandée au Bac 2014.
3. Équation du second degré à coefficients réels
Propriété
Soient a, b, c trois réels avec a\neq 0.
Dans \mathbb{C}, l’équation az^{2}+bz+c=0 admet toujours au moins une solution.
Plus précisément, si on note \Delta son discriminant (\Delta =b^{2} – 4ac) :
Si \Delta > 0, l’équation possède deux solutions réelles :
z_{1}=\dfrac{ – b – \sqrt{\Delta }}{2a} et z_{2}=\dfrac{ – b+\sqrt{\Delta }}{2a}
Si \Delta = 0, l’équation possède une solution réelle :
z=\dfrac{ – b}{2a}
Si \Delta < 0, l’équation possède deux solutions complexes conjuguées l’une de l’autre :
z_{1}=\dfrac{ – b – i\sqrt{ – \Delta }}{2a} et z_{2}=\dfrac{ – b+i\sqrt{ – \Delta }}{2a}.
Exemple
Soit à résoudre l’équation z^{2}+2z+2=0 dans \mathbb{C}
\Delta =4 – 8= – 4
\Delta < 0 donc l’équation admet 2 racines complexes conjuguées :
z_{1}=\dfrac{ – 2 – i\sqrt{4}}{2}= – 1 – i et z_{2}=\dfrac{ – 2+i\sqrt{4}}{2}= – 1+i.
4. Représentation géométrique
Le plan \left(P\right) est muni d’un repère orthonormé \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)
Définitions
A tout nombre complexe z=a+ib, on associe le point M de coordonnées \left(a ; b\right)
On dit que M est l’image de z et que z est l’affixe du point M.
A tout vecteur \vec{k} de coordonnées \left(a ; b\right) on associe le nombre complexe z=a+ib.
On dit que z est l’affixe du vecteur \vec{k}.
Propriétés
M appartient à l’axe des abscisses si et seulement si son affixe z est un nombre réel
M appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si son affixe z est un nombre imaginaire pur
Deux nombres complexes conjugués ont des affixes symétriques par rapport à l’axe des abscisses
Propriétés
Soient A et B deux points d’affixes respectives z_{A} et z_{B}.
l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB} est égale à :
z_{\overrightarrow{AB}}= z_{B} – z_{A}
l’affixe du milieu M du segment \left[AB\right] est égale à :
z_{M}= \dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}
Propriétés
Soient \vec{w}\left(z\right) et \overrightarrow{w^{\prime}}\left(z^{\prime}\right) deux vecteurs du plan et k un nombre réel.
Le vecteur \vec{w}+\overrightarrow{w^{\prime}} a pour affixe z+z^{\prime} ;
Le vecteur k\vec{w} a pour affixe kz.
5. Forme trigonométrique
Définition
Soit z un nombre complexe non nul d’image M dans le repère \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right).
On appelle module de z, et on note |z| le nombre réel positif ou nul |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
On appelle argument de z et on note \text{arg}\left(z\right) une mesure, exprimée en radians, de l’angle
\left(\vec{u}; \overrightarrow{OM}\right).
Propriétés des modules
Pour tous nombres complexes z et z^{\prime} :
|z|^{2} = z\times \overline{z}
|zz^{\prime}| = |z|\times |z^{\prime}|
|\dfrac{z}{z^{\prime}}| = \dfrac{|z|}{|z^{\prime}|} pour z^{\prime}\neq 0
Propriétés des arguments
Pour tous nombres complexes z et z^{\prime} non nuls et tout entier n\in \mathbb{Z} :
\text{arg}\left(\overline{z}\right)= – \text{arg}\left(z\right)
\text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right)
\text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right)
\text{arg}\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) – \text{arg}\left(z^{\prime}\right)
Remarque
En particulier :
\text{arg}\left( – z\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left( – 1\right) = \text{arg}\left(z\right)+\pi
\text{arg}\left(\dfrac{1}{z}\right)=\text{arg}\left(1\right) – \text{arg}\left(z\right) = – \text{arg}\left(z\right)
Théorème et définition
Soit z un nombre complexe non nul de module r et d’argument \theta :
z=r\left(\cos\theta + i \sin\theta \right)
Cette écriture s’appelle forme trigonométrique du nombre z.
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Soit z=a+ib un nombre complexe non nul.
r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
\theta =\text{arg}\left(z\right) est défini par :
\cos \theta = \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} et \sin \theta = \dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Exemple
Soit z=\sqrt{3}+i.
|z|=\sqrt{3+1}=2
Si \theta est un argument de z :
\cos \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2} et \sin \theta =\dfrac{1}{2} donc \theta =\dfrac{\pi }{6} \left(\text{mod. } 2\pi \right)
La forme trigonométrique de z est donc :
z=2\left(\cos \dfrac{\pi }{6} + i \sin \dfrac{\pi }{6}\right)
Angle de vecteurs et arguments
Soit A, B et C trois points du plan d’afixes respectives z_{A},z_{B}, z_{C} avec A\neq B et A\neq C :
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)= \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right)
Remarques
Notez bien l’ordre des affixes (inverse de l’ordre des points dans l’écriture de l’angle).
Premier cas particulier important :
A, B et C sont alignés \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right) = 0~\text{ou}~\pi~\left[\text{mod. } 2\pi \right] \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}} \in \mathbb{R}.
Second cas particulier important :
\widehat{BAC} est un angle droit \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}}\right) = \pm \dfrac{\pi }{2} ~ \left[\text{mod. } 2\pi \right] \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} – z_{A}}{z_{B} – z_{A}} est un imaginaire pur.
6. Forme exponentielle
Notation
Si z est un nombre complexe de module r et d’argument \theta, la notation exponentielle du nombre z est :
z=re^{i\theta }
Remarque
Ce sont les propriétés des arguments :
\text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right)
\text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right)
\text{arg}\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) – \text{arg}\left(z^{\prime}\right)
similaires aux propriétés de l’exponentielle qui justifient cette notation.
Exemple
Le nombre – 1 a pour module 1 et pour argument \pi \left(\text{mod. } 2\pi \right). On peut donc écrire :
– 1=e^{i\pi } ou encore e^{i\pi }+1=0.
C’est la célèbre identité d’Euler qui relie 0, 1, e, i et \pi.
Propriétés
Pour tous réels \theta et \theta ^{\prime} :
e^{i\theta }\times e^{i\theta ^{\prime}}=e^{i\left(\theta +\theta ^{\prime}\right)}
\left(e^{i\theta }\right)^{n}=e^{in\theta }
\dfrac{e^{i\theta }}{e^{i\theta ^{\prime}}}=e^{i\left(\theta – \theta ^{\prime}\right)}.