Loi de Bernoulli
Définition
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p (avec 0 < p < 1) une expérience aléatoire ayant deux issues :
l’une appelée succès (généralement notée S) de probabilité p,
l’autre appelée échec (généralement notée \overline S) de probabilité 1 – p.
Définition
On considère la variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.
Cette variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre p, définie par le tableau suivant:
| x_{i} | 0 | 1 |
|---|---|---|
| p\left(X=x_{i}\right) | 1 – p | p |
Exemple
Au bonneteau, deux cartes noires et une carte rouge sont présentées, faces cachées, sur la table.
On suppose qu’un joueur choisit une carte complètement au hasard.
On a affaire à une loi de Bernoulli de paramètre p=\dfrac{1}{3}.
La probabilité de succès est : p\left(S\right)=p=\dfrac{1}{3} et la probabilité d’échec p\left(\overline S\right)=1 – p=\dfrac{2}{3}
Propriété
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p est :
E\left(X\right)=p.
Démonstration
D’après la définition de l’espérance mathématique :
E\left(X\right)=0\times \left(1 – p\right)+1\times p=p.
Schéma de Bernoulli – Loi binomiale
Définition
On appelle schéma de Bernoulli la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Exemple
Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. On tire 3 boules au hasard.
Si l’épreuve s’effectue sans remise, les tirages ne sont ni identiques, ni indépendants. En effet, le fait d’avoir retiré une boule lors du premier tirage fait que le second tirage n’est pas identique au premier.
Si l’épreuve s’effectue avec remise, on pourra, par contre, considérer que les tirages sont identiques et indépendants. On a donc bien, dans ce cas, un schéma de Bernoulli.
Définition
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernouilli constitué de n épreuves ayant chacune une probabilité de succès égale à p.
La variable aléatoire X suit une loi appelée loi binomiale de paramètres n et p, souvent notée \mathscr B \left(n ; p\right).
Exemple
On reprend l’exemple précédent : tirage au hasard et avec remise de 3 boules parmi 5 boules comportant 2 boules rouges et 3 boules blanches. On considère la variable aléatoire X qui compte le nombre de boules rouges obtenues. La variable X sur une loi binomiale de paramètres 3 (nombre d’épreuves) et \dfrac{2}{5} (probabilité d’obtenir une boule rouge lors d’une épreuve).
Ce schéma peut être représenté par l’arbre suivant :
Grâce à l’arbre on voit que :
la probabilité d’avoir 3 succès (c’est à dire 3 boules rouges) est p\left(X=3\right) =\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3}=\dfrac{8}{125} ;
il y a 3 chemins qui correspondent à 2 succès (SS\overline S, S\overline SS, \overline SSS). La probabilité d’obtenir 2 boules rouges est donc :
p\left(X=2\right) =\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}\times \dfrac{3}{5}+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}\times \dfrac{3}{5}+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}\times \dfrac{3}{5}
=3\times \left[\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}\times \dfrac{3}{5}\right]=\dfrac{36}{125} ;
il y a également 3 chemins qui correspondent à un unique succès (S\overline S\overline S, \overline SS\overline S, \overline S\overline SS). La probabilité d’obtenir une unique boule rouge est donc :
p\left(X=1\right) = \dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}+ \dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}+ \dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}
=3\times \left[ \dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}\right]=\dfrac{54}{125} ;
la probabilité de n’avoir aucune boule rouge est p\left(X=0\right) =\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3}=\dfrac{27}{125}.
La loi de X est donc donnée par le tableau suivant :
| x_{i} | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| p\left(X=x_{i}\right) | \dfrac{27}{125} | \dfrac{54}{125} | \dfrac{36}{125} | \dfrac{8}{125} |
On vérifie bien que \dfrac{27}{125}+\dfrac{54}{125}+\dfrac{36}{125}+\dfrac{8}{125}=1.
Propriété
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale \mathscr B \left(n ; p\right) est :
E\left(X\right)=np.
Exemple
Dans l’exemple précédent, la variable X suit une loi binomiale \mathscr B (3 ; \dfrac{2}{5}).
Son espérance mathématique est donc E\left(X\right)=3\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{5}=1,2.
On vérifie que l’on obtient bien le même résultat en utilisant le tableau de la loi de X et la définition de l’espérance mathématique :
E\left(X\right)=0\times \dfrac{27}{125}+1\times \dfrac{54}{125}+2\times \dfrac{36}{125}+3\times \dfrac{8}{125}
=\dfrac{150}{125}=1,2.
Propriété
On considère un arbre pondéré représentant une loi binomiale \mathscr B \left(n ; p\right).
Le nombre de chemins qui correspondent à k succès est égal au nombre de combinaisons de k éléments parmi n : \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (voir Dénombrement – Combinaisons )
Exemple
On reprend le même exemple que précédemment. On a vu, par exemple, qu’il y avait 3 chemins correspondant à 2 succès ce qui correspond bien à \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}= 3.
Théorème
Soit X une variable aléatoire de loi \mathscr B \left(n ; p\right).
Pour tout entier k compris entre 0 et n :
p\left(X=k\right)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^{k} \left(1 – p\right)^{n – k}
Exemple
On lance 8 fois une pièce équilibrée et on appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l’on obtient Pile.
X suit une loi binomiale de paramètres n=8 et p=\dfrac{1}{2}.
La probabilité d’obtenir 4 fois Pile (par exemple) est :
p\left(X=4\right) = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}
\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}= 70 (à la calculatrice).
Donc :
p\left(X=4\right)=70\times \dfrac{1}{16}\times \dfrac{1}{16}=\dfrac{70}{256}=\dfrac{35}{128}.