1. Définition de la fonction logarithme népérien
Théorème et définition
Pour tout réel \displaystyle x > 0, l’équation \displaystyle e^{y}=x, d’inconnue \displaystyle y, admet une unique solution.
La fonction logarithme népérien, notée \displaystyle \ln, est la fonction définie sur \displaystyle \left]0;+\infty \right[ qui à \displaystyle x > 0, associe le réel \displaystyle y solution de l’équation \displaystyle e^{y}=x.
Remarque
Pour \displaystyle x\leqslant 0, par contre, l’équation \displaystyle e^{y}=x n’a pas de solution
Propriétés
Pour tout réel \displaystyle x > 0 et tout \displaystyle y \in \mathbb{R} : \displaystyle e^{y}=x \Leftrightarrow y=\ln\left(x\right)
Pour tout réel \displaystyle x > 0 : \displaystyle e^{\ln\left(x\right)}=x
Pour tout réel \displaystyle x : \displaystyle \ln\left(e^{x}\right)=x
Remarques
Ces propriétés se déduisent immédiatement de la définition
On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques
On en déduit immédiatement : \displaystyle \ln\left(1\right)=0 et \displaystyle \ln\left(e\right)=1
2. Etude de la fonction logarithme népérien
Théorème
La fonction logarithme népérien est dérivable sur \displaystyle \left]0 ;+\infty \right[ et sa dérivée est définie par :
\displaystyle \ln^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x}
Démonstration
On dérive l’égalité \displaystyle e^{\ln\left(x\right)}=x membre à membre.
D’après le théorème de dérivation des fonctions composées on obtient :
\displaystyle \ln^{\prime}\left(x\right)\times e^{\ln\left(x\right)}=1
C’est à dire :
\displaystyle \ln^{\prime}\left(x\right)\times x=1
\displaystyle \ln^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x}
Propriété
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \displaystyle \left]0;+\infty \right[.
Démonstration
Sa dérivée \displaystyle \ln^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x} est strictement positive sur \displaystyle \left]0;+\infty \right[
Propriété
Soit \displaystyle u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \displaystyle I.
Alors la fonction \displaystyle f : x\mapsto \ln\left(u\left(x\right)\right) est dérivable sur \displaystyle I et :
\displaystyle f^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}
Démonstration
On utilise le théorème de dérivation de fonctions composées .
Exemple
Soit \displaystyle f définie sur \displaystyle {\mathbb{R}} par \displaystyle f\left(x\right)=\ln\left(x^{2}+1\right)
\displaystyle f est dérivable sur \displaystyle {\mathbb{R}} et \displaystyle f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}
Limites
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\ln\left(x\right)= – \infty
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\ln\left(x\right)=+\infty
Remarques
Ces résultats permettent de tracer le tableau de variation et la courbe représentative de la fonction logarithme népérien :
Tableau de variation de la fonction logarithme népérien
Graphique de la fonction logarithme népérien
Théorème ( Croissance comparée )
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}x \ln x=0
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\ln x}{x}=0
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x}=1
Remarque
Cette dernière limite peut s’obtenir en utilisant la définition du nombre dérivé de la fonction logarithme népérien pour \displaystyle x=1 (voir fiche méthode Calculer une limite à l’aide du nombre dérivé).
3. Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
Théorème
Si \displaystyle a et \displaystyle b sont 2 réels strictement positifs et si \displaystyle n \in \mathbb{Z} :
\displaystyle \ln\left(ab\right)=\ln a+\ln b
\displaystyle \ln\left(\dfrac{1}{a}\right)= – \ln a
\displaystyle \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a – \ln b
\displaystyle \ln\left(a^{n}\right)=n \ln a
\displaystyle \ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2} \ln a
Exemples
\displaystyle \ln\left(4\right)=\ln\left(2^{2}\right)=2\ln\left(2\right)
Pour \displaystyle x > 1 : \displaystyle \ln\left(\dfrac{x+1}{x – 1}\right)= \ln\left(x+1\right) – \ln\left(x – 1\right)
Cette égalité peut être intéressante (pour calculer la dérivée par exemple) mais il faut que \displaystyle x > 1.
Si \displaystyle x < - 1, l’expression \displaystyle \ln\left(\dfrac{x+1}{x – 1}\right) est définie mais pas \displaystyle \ln\left(x+1\right) – \ln\left(x – 1\right).