1. Définitions
Définition
Limite infinie quand \displaystyle x tend vers l’infini.
Soit \displaystyle f une fonction définie sur un intervalle \displaystyle \left[a; +\infty \right[.
On dit que que \displaystyle f\left(x\right) tend vers \displaystyle +\infty quand \displaystyle x tend vers \displaystyle +\infty lorsque pour \displaystyle x suffisamment grand, \displaystyle f\left(x\right) est aussi grand que l’on veut. On écrit alors que \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=+\infty.
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=+\infty
Remarque
On définit de façon similaire les limites :
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)= – \infty ; \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow – \infty } f\left(x\right)=+\infty ; \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow – \infty } f\left(x\right)= – \infty.
Définition
Limite finie quand \displaystyle x tend vers l’infini.
Soit \displaystyle f une fonction définie sur un intervalle \displaystyle \left[a ; +\infty \right[.
On dit que que \displaystyle f\left(x\right) tend vers \displaystyle l quand \displaystyle x tend vers \displaystyle +\infty lorsque pour \displaystyle x suffisamment grand, \displaystyle f\left(x\right) est aussi proche de \displaystyle l que l’on veut. On écrit alors que \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=l.
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=0
Remarque
On définit de façon similaire la limite \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow – \infty } f\left(x\right)=l.
Définition
Si \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow – \infty }f\left(x\right)=l ou \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l, on dit que la droite d’équation \displaystyle y=l est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction \displaystyle f.
Exemple
Sur la courbe ci-dessus, la droite d’équation \displaystyle y=0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de \displaystyle f.
Définition
Limite infinie quand \displaystyle x tend vers un réel.
Soit \displaystyle f une fonction définie sur un intervalle \displaystyle \left]a; b\right[ (avec \displaystyle a < b).
On dit que que \displaystyle f\left(x\right) tend vers \displaystyle +\infty quand \displaystyle x tend vers \displaystyle a par valeurs supérieures lorsque \displaystyle f\left(x\right) est aussi grand que l’on veut quand \displaystyle x se rapproche de \displaystyle a en restant supérieur à \displaystyle a. On écrit alors \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=+\infty ou \displaystyle \lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow a \atop\scriptstyle x > a} f\left(x\right)=+\infty.
De même, on dit que que \displaystyle f\left(x\right) tend vers \displaystyle +\infty quand \displaystyle x tend vers \displaystyle b par valeurs inférieures lorsque \displaystyle f\left(x\right) est aussi grand que l’on veut quand \displaystyle x se rapproche de \displaystyle b en restant inférieur à \displaystyle b. On écrit alors \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow b^ – } f\left(x\right)=+\infty ou \displaystyle \lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow b \atop\scriptstyle x < b} f\left(x\right)=+\infty.
Enfin, si \displaystyle c\in \left]a;b\right[ , on dit que que \displaystyle f\left(x\right) tend vers \displaystyle +\infty quand \displaystyle x tend vers \displaystyle c si \displaystyle f\left(x\right) tend vers \displaystyle +\infty quand \displaystyle x tend vers \displaystyle c par valeurs supérieures et par valeurs inférieures. On écrit alors \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=+\infty.
Remarque
On définit de façon symétrique \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a^ – } f\left(x\right)= – \infty, \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)= – \infty et \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a} f\left(x\right)= – \infty en remplaçant \displaystyle f\left(x\right) est aussi grand que l’on veut par \displaystyle f\left(x\right) est aussi petit que l’on veut dans la définition.
Définition
Si \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow c^ – }f\left(x\right)=\pm \infty ou \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow c^+}f\left(x\right)=\pm \infty ou \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=\pm \infty, on dit que la droite d’équation \displaystyle x=c est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction \displaystyle f.
Exemple
Sur les trois courbes de la figure ci-dessous, la droite d’équation \displaystyle x=0 est asymptote verticale à la courbe représentative de \displaystyle f.
Définition
Limite finie quand x tend vers un réel.
Soit \displaystyle f une fonction définie sur un intervalle \displaystyle \left]a;b\right[ (avec \displaystyle a < b).
On dit que que \displaystyle f\left(x\right) tend vers \displaystyle l quand \displaystyle x tend vers \displaystyle a par valeurs supérieures lorsque \displaystyle f\left(x\right) se rapproche de \displaystyle l quand x se rapproche de \displaystyle a en restant supérieur à \displaystyle a.
On écrit alors \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=l ou \displaystyle \lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow a \\ x > a\end{matrix}} f\left(x\right)=l.
De même, on dit que que \displaystyle f\left(x\right) tend vers \displaystyle l quand \displaystyle x tend vers \displaystyle b par valeurs inférieures lorsque \displaystyle f\left(x\right) se rapproche de \displaystyle l quand x se rapproche de \displaystyle b en restant inférieur à \displaystyle b.
On écrit alors \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow b^ – } f\left(x\right)=l ou \displaystyle \lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow b \\ x < b\end{matrix}} f\left(x\right)=l.
Enfin, si \displaystyle c\in \left]a; b\right[ , on dit que que \displaystyle f\left(x\right) tend vers \displaystyle l quand \displaystyle x tend vers \displaystyle c si \displaystyle f\left(x\right) tend vers \displaystyle l quand \displaystyle x tend vers \displaystyle c par valeurs supérieures et par valeurs inférieures.
On écrit alors \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=l.
2. Limites usuelles
Propriétés
Pour tout entier \displaystyle n > 1 :
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow – \infty }x^{n}=\begin{cases} – \infty \text{ si n est impair} \\ +\infty \text{ si n est pair} \end{cases}
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{n}=+\infty
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\dfrac{1}{x^{n}}=0
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x^{n}}=0
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0^ – }\dfrac{1}{x}= – \infty
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x}=+\infty
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x} =+\infty
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow – \infty } \text{e}^{ x } = 0
3. Opérations sur les limites
Propriétés
Limite d’une somme.
\displaystyle a désigne un réel ou \displaystyle +\infty ou \displaystyle – \infty.
| \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) | \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) | \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)+g\left(x\right) |
|---|---|---|
| \displaystyle l | \displaystyle l^{\prime} | \displaystyle l+l^{\prime} |
| \displaystyle l | \displaystyle +\infty | \displaystyle +\infty |
| \displaystyle l | \displaystyle – \infty | \displaystyle – \infty |
| \displaystyle +\infty | \displaystyle +\infty | \displaystyle +\infty |
| \displaystyle – \infty | \displaystyle – \infty | \displaystyle – \infty |
| \displaystyle +\infty | \displaystyle – \infty | \displaystyle F.I. |
\displaystyle F.I. signifie forme indéterminée.
Remarque
Forme indéterminée ne signifie pas que la limite n’existe pas mais que les formules d’opérations sur les limites ne permettent pas de trouver directement limite. Pour la calculer, il faut alors lever l’indétermination par exemple en simplifiant une fraction (cf. fiches méthodes).
Propriétés
Limite d’un produit.
\displaystyle a désigne un réel ou \displaystyle +\infty ou \displaystyle – \infty.
| \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) | \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) | \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\times g\left(x\right) |
|---|---|---|
| \displaystyle l | \displaystyle l^{\prime} | \displaystyle l\times l^{\prime} |
| \displaystyle l\neq 0 | \displaystyle \pm \infty | \displaystyle \left(signe\right)\infty |
| \displaystyle \pm \infty | \displaystyle \pm \infty | \displaystyle \left(signe\right)\infty |
| \displaystyle 0 | \displaystyle \pm \infty | \displaystyle F.I. |
\displaystyle F.I. signifie forme indéterminée.
\displaystyle \pm \infty signifie que la formule s’applique pour \displaystyle +\infty et pour \displaystyle – \infty.
\displaystyle \left(signe\right)\infty signifie que l’on utilise la règle des signes usuelle :
\displaystyle +\times +=+
\displaystyle +\times – = –
\displaystyle – \times – =+
pour déterminer si la limite vaut \displaystyle +\infty ou \displaystyle – \infty.
Propriétés
Limite d’un quotient.
\displaystyle a désigne un réel ou \displaystyle +\infty ou \displaystyle – \infty.
| \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) | \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) | \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} |
|---|---|---|
| \displaystyle l | \displaystyle l^{\prime}\neq 0 | \displaystyle \dfrac{l}{l^{\prime}} |
| \displaystyle l\neq 0 | \displaystyle 0 | \displaystyle \left(signe\right)\infty |
| \displaystyle 0 | \displaystyle 0 | \displaystyle F.I. |
| \displaystyle l | \displaystyle \pm \infty | \displaystyle 0 |
| \displaystyle \pm \infty | \displaystyle l | \displaystyle \left(signe\right)\infty |
| \displaystyle \pm \infty | \displaystyle \pm \infty | \displaystyle F.I. |
Propriété
Limite d’une fonction composée.
\displaystyle a, \displaystyle b et \displaystyle c désignent des réels ou \displaystyle +\infty ou \displaystyle – \infty.
Si \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\textcolor{red}{b} et \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \textcolor{red}{b}}g\left(x\right)=c alors :
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=c.
Remarque
On pose souvent \displaystyle X=f\left(x\right) (changement de variable) et on écrit alors :
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}X=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=\lim\limits_{X\rightarrow b}g\left(X\right)=c.
Exemple
On cherche à calculer :
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\sqrt{1+x^{2}}.
On pose \displaystyle X=1+x^{2}. Alors :
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow – \infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }1+x^{2}=+\infty
et
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\sqrt{1+x^{2}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\sqrt{X}=+\infty.
4. Théorèmes de comparaison
Théorèmes
Si \displaystyle f\left(x\right)\geqslant g\left(x\right) sur un intervalle de la forme \displaystyle \left[a;+\infty \right[ et si \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=+\infty alors :
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty.
Si \displaystyle f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) sur un intervalle de la forme \displaystyle \left[a;+\infty \right[ et si \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)= – \infty alors :
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)= – \infty.
Théorème
Théorème des « gendarmes ».
Si \displaystyle g\left(x\right)\leqslant f\left(x\right)\leqslant h\left(x\right) sur un intervalle de la forme \displaystyle \left[a;+\infty \right[ et si \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }h\left(x\right)=l alors :
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l.
Théorème des gendarmes
Remarque
On a des théorèmes similaires lorsque \displaystyle x \rightarrow – \infty.