I – Les ensembles de nombres
Définition
\mathbb{N}=\left\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; \cdots \right\} est l’ensemble des entiers naturels.
Remarque
On emploie le signe \in pour indiquer qu’un nombre appartient à un ensemble. On écrira par exemple: 2\in \mathbb{N} et \dfrac{2}{3} \notin \mathbb{N}.
Définition
\mathbb{Z}= \left\{\cdots; – 3; – 2 ; – 1; 0; 1; 2; 3; \cdots \right\} est l’ensemble des entiers relatifs.
Définition
\mathbb{D} est l’ensemble des nombres décimaux. Les nombres décimaux peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (1; 10; 100; 1 000; …). Ils peuvent aussi s’écrire sous forme décimale dont le nombre de chiffres après la virgule est finie.
Remarques
fini signifie ici qui n’est pas infini.
Les calculatrices les plus simples ne manipulent que des nombres décimaux pour effectuer les calculs. Certaines permettent des opérations sur les fractions. Quelques modèles plus avancés (effectuant du calcul formel) peuvent également effectuer des calculs avec des nombres irrationnels.
Définition
\mathbb{Q} est l’ensemble des nombres rationnels. Les nombres rationnels peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers relatifs.
Définition
\mathbb{R} est l’ensemble des nombres réels. Les nombres réels sont tous les nombres connus (en Seconde…).
Remarque
Les nombres réels qui ne sont pas rationnels (comme \pi ou \sqrt{2} ) sont appelés des nombres irrationnels.
Propriété
\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
Remarques
Le symbole \subset se lit inclus dans.
La proposition précédente signifie que tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs qui sont eux-même des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels.
Un même nombre admet plusieurs écritures différentes. Par exemple le nombre 2 peut aussi s’écrire 2,0 (écriture décimale) \dfrac{2}{1} ou \dfrac{4}{2} etc. (écriture fractionnaire) \sqrt{4} (écriture avec un radical) et même (aussi curieux que cela puisse vous paraitre) 1,999999…. (écriture décimale illimitée).
II – Intervalles
Intervalles bornés
Définition
Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
L’intervalle fermé \left[ a~;~b \right] est l’ensemble des nombres réels x tels que a \leqslant x \leqslant b.
L’intervalle ouvert \left] a~;~b \right[ est l’ensemble des nombres réels x tels que a < x < b.
L’intervalle \left[ a~;~b \right[ (fermé en a, ouvert en b) est l’ensemble des nombres réels x tels que a \leqslant x < b.
L’intervalle \left] a~;~b \right] (ouvert en a, fermé en b) est l’ensemble des nombres réels x tels que a < x \leqslant b.
Exemple
Par exemple, l’intervalle \left[ – 2~;~3 \right[ est constitué des nombres réels qui sont à la fois supérieur ou égal à – 2 et strictement inférieur à 3.
On pourra, par exemple, écrire :
– 3 \notin \left[ – 2~;~3 \right[
– 2 \in \left[ – 2~;~3 \right[
0 \in \left[ – 2~;~3 \right[
3 \notin \left[ – 2~;~3 \right[
4 \notin \left[ – 2~;~3 \right[
On peut représenter l’intervalle \left[ – 2~;~3 \right[ de la façon suivante :
Intervalles non bornés
Définition
Soit a un nombre réel.
L’intervalle \left[ a~;~+\infty \right[ est l’ensemble des nombres réels x tels que x \geqslant a.
L’intervalle \left] a~;~+\infty \right[ est l’ensemble des nombres réels x tels que x > a.
L’intervalle \left] – \infty~;~a \right] est l’ensemble des nombres réels x tels que x \leqslant a.
L’intervalle \left] – \infty~;~a \right] est l’ensemble des nombres réels x tels que x < a.
Remarque
En +\infty et en – \infty, le crochet est toujours ouvert.
Exemple
0 \notin \left[ 1~;~ +\infty \right[
1 \in \left[ 1~;~ +\infty \right[
100 \in \left[ 1~;~ +\infty \right[
On représente l’intervalle \left[ 1~;~ +\infty \right[ ainsi :
Union et intersection
Définition
Soient I et J deux intervalles.
L’intersection de I et de J notée I \cap J (lire I inter J) est l’ensemble des nombres appartenant à la fois à I et à J.
L’union (ou la réunion de I et de J notée I \cup J (lire I union J) est l’ensemble des nombres appartenant à I ou à J ou aux deux intervalles.
Remarque
Retenir que l’intersection correspond au mot et et que la réunion correspond au mot ou.
Exemple
Si I = \left[ – 3~;~1 \right[ et J= \left[ 0~;~3 \right], I est représenté en bleu et J en rouge sur la figure suivante :
I \cap J = \left[ 0~;~1 \right[ et I \cup J = \left[ – 3~;~3 \right]
III – Valeurs absolues
Intuitivement, la valeur absolue d’un nombre c’est le nombre sans son signe. Par exemple, la valeur absolue de – 5 est 5 et la valeur absolue de 1,12 est 1,12. Toutefois, lors de calculs littéraux, le signe peut être caché à l’intérieur de la lettre ; par exemple, on ne peut pas dire que la valeur absolue de – x est égale à x car c’est faux si x est négatif. D’où la définition suivante :
Définition
Soit x un nombre réel On appelle valeur absolue de x et on note |x| le nombre réel positif ou nul défini par
|x| = x si x est positif ou nul,
|x| = – x si x est négatif ou nul.
Exemples
| – 1 | = – ( – 1) = 1
\displaystyle | \sqrt{ 2 } – 1 | = \sqrt{ 2 } – 1 car \displaystyle \sqrt{ 2 } > 1 donc \sqrt{ 2 } – 1 est positif.
Propriété
La distance entre les nombres réels x et y est égale à |y – x| (ou aussi à |x – y|).
En particulier, \left| x \right| est la distance de x à 0.
Exemple
Les nombres – 3 et 2 sont représentés sur l’axe ci-dessous :
La distance entre – 3 et 2 est égale à :
| – 3 – 2|=| – 5|=5
La distance entre – 3 et 0 est égale à :
| – 3|=3