1. La fonction inverse
Définition
La fonction inverse est la fonction définie sur \left] – \infty ; 0\right[ \cup \left]0; +\infty \right[ par : x \mapsto \dfrac{1}{x}.
Sa courbe représentative est une hyperbole.
L’hyperbole représentant la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x}
Théorème
La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Théorème
La fonction inverse est strictement décroissante sur \left] – \infty ; 0\right[ et sur \left]0; +\infty \right[.
Tableau de variation de la fonction inverse
Exemple d’application
On veut comparer les nombres \dfrac{1}{\pi } et \dfrac{1}{3}.
On sait que \pi > 3
Comme les nombres 3 et \pi sont strictement positifs et que la fonction inverse est strictement décroissante sur \left]0; +\infty \right[ on en déduit que \dfrac{1}{\pi } < \dfrac{1}{3}
2. Fonctions homographiques
Définition
Soient a, b, c, d quatre réels avec c\neq 0 et ad – bc\neq 0.
La fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ – \dfrac{d}{c}\right\} par :
f\left(x\right)=\dfrac{ax+b}{cx+d}
s’appelle une fonction homographique.
La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole.
Remarques
La valeur interdite – \dfrac{d}{c} est celle qui annule le dénominateur.
Si ad – bc=0, la fraction se simplifie et dans ce cas la fonction f est constante sur son ensemble de définition. Par exemple f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{4x+2}=\dfrac{2x+1}{2\times \left(2x+1\right)}=\dfrac{1}{2} sur \mathbb{R}\backslash\left\{ – \dfrac{1}{2}\right\}
Exemple
La fonction f telle que :
f\left(x\right)=\dfrac{3x + 2}{x + 1}
est définie pour x+1 \neq 0 c’est à dire x \neq – 1.
Son ensemble de définition est donc :
\mathscr D_f = \mathbb{R}\backslash\left\{ – 1\right\}( ou \mathscr D_f =\left] – \infty ; – 1\right[ \cup \left] – 1 ; +\infty \right[)
Elle est strictement croissante sur chacun des intervalles \left] – \infty ; – 1\right[ et \left] – 1 ; +\infty \right[ (pour cet exemple ; ce n’est pas le cas pour toutes les fonctions homographiques !).
Tableau de variations de f~:~x \longmapsto \dfrac{3x + 2}{x + 1}
Courbe représentative de f~:~x \longmapsto \dfrac{3x + 2}{x + 1}