1. Rappels
Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé \displaystyle \left(O ; \overrightarrow{OI} ,\overrightarrow{OJ}\right).
On oriente le cercle trigonométrique (cercle de centre \displaystyle O et de rayon 1) dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).
Définition
Soit \displaystyle N un point du cercle trigonométrique et \displaystyle x une mesure en radians de l’angle \displaystyle \left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{ON}\right).
On appelle cosinus de \displaystyle x, noté \displaystyle \cos x l’abscisse du point \displaystyle N.
On appelle sinus de \displaystyle x, noté \displaystyle \sin x l’ordonnée du point \displaystyle N.
Remarque
Pour tout réel \displaystyle x :
\displaystyle – 1 \leqslant \cos x \leqslant 1
\displaystyle – 1 \leqslant \sin x \leqslant 1
\displaystyle \left(\cos x\right)^{2} + \left(\sin x\right)^{2} = 1 (d’après le théorème de Pythagore).
Quelques valeurs de sinus et de cosinus
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \dfrac{\pi }{6} | \displaystyle \dfrac{\pi }{4} | \displaystyle \dfrac{\pi }{3} | \displaystyle \dfrac{\pi }{2} | \displaystyle \pi |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \displaystyle \cos x | \displaystyle 1 | \displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2} | \displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \displaystyle \dfrac{1}{2} | \displaystyle 0 | \displaystyle – 1 |
| \displaystyle \sin x | \displaystyle 0 | \displaystyle \dfrac{1}{2} | \displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2} | \displaystyle 1 | \displaystyle 0 |
Théorème
Soit \displaystyle a un réel fixé.
Les solutions de l’équation \displaystyle \cos\left(x\right)=\cos\left(a\right) sont les réels de la forme :
\displaystyle a+2k\pi ou \displaystyle – a+2k\pi où \displaystyle k décrit \displaystyle {\mathbb{Z}}
Les solutions de l’équation \displaystyle \sin\left(x\right)=\sin\left(a\right) sont les réels de la forme :
\displaystyle a+2k\pi ou \displaystyle \pi – a+2k\pi où \displaystyle k décrit \displaystyle {\mathbb{Z}}
Exemple
Soit l’équation \displaystyle \sin\left(x\right)=\dfrac{1}{2}.
Comme \displaystyle \sin\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{1}{2}, l’équation peut s’écrire \displaystyle \sin\left(x\right)=\sin\dfrac{\pi }{6}.
D’après le théorème précédent, l’ensemble des solutions est :
\displaystyle S=\left\{ \dfrac{\pi }{6}+2k\pi , \dfrac{5\pi }{6}+2k\pi | k\in \mathbb{Z} \right\}.
2. Fonctions sinus et cosinus
Définition
La fonction, définie sur \displaystyle {\mathbb{R}}, qui à tout réel \displaystyle x associe son cosinus : \displaystyle x\mapsto \cos\left(x\right) est appelée fonction cosinus.
La fonction, définie sur \displaystyle {\mathbb{R}}, qui à tout réel \displaystyle x associe son sinus : \displaystyle x\mapsto \sin\left(x\right) est appelée fonction sinus.
Formules de base
Pour tout réel \displaystyle x :
\displaystyle \cos\left(x+2\pi \right)=\cos\left(x\right)
\displaystyle \sin\left(x+2\pi \right)=\sin\left(x\right).
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période \displaystyle 2\pi.
\displaystyle \cos\left( – x\right)=\cos\left(x\right) (la fonction cosinus est paire)
\displaystyle \sin\left( – x\right)= – \sin\left(x\right) (la fonction sinus est impaire)
\displaystyle \cos\left(x+\pi \right)= – \cos\left(x\right)
\displaystyle \sin\left(x+\pi \right)= – \sin\left(x\right)
\displaystyle \cos\left(x+\dfrac{\pi }{2}\right)= – \sin\left(x\right)
\displaystyle \sin\left(x+\dfrac{\pi }{2}\right)=\cos\left(x\right)
Remarque
A partir des formules de base on peut montrer d’autres formules; par exemple :
\displaystyle \cos\left(\dfrac{\pi }{2} – x\right)=\cos\left( – x+\dfrac{\pi }{2}\right)= – \sin\left( – x\right)=\sin\left(x\right)
\displaystyle \sin\left(\dfrac{\pi }{2} – x\right)=\sin\left( – x+\dfrac{\pi }{2}\right)=\cos\left( – x\right)=\cos\left(x\right)
Formules d’addition
Pour tous réels \displaystyle a et \displaystyle b :
\displaystyle \cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right) \cos\left(b\right) – \sin\left(a\right) \sin\left(b\right)
\displaystyle \sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right) \cos\left(b\right)+\cos\left(a\right) \sin\left(b\right)
Remarque
En remplaçant \displaystyle b par \displaystyle – b et en utilisant la parité des fonctions sinus et cosinus on obtient les formules de soustraction:
\displaystyle \cos\left(a – b\right)=\cos\left(a\right) \cos\left(b\right)+\sin\left(a\right) \sin\left(b\right)
\displaystyle \sin\left(a – b\right)=\sin\left(a\right) \cos\left(b\right) – \cos\left(a\right) \sin\left(b\right)
Propriété (formules de duplication)
Pour tout réel \displaystyle a :
\displaystyle \cos\left(2a\right) = \cos^{2}\left(a\right) – \sin^{2}\left(a\right) = 2\cos^{2}\left(a\right) – 1 = 1 – 2\sin^{2}\left(a\right)
\displaystyle \sin\left(2a\right) = 2\sin\left(a\right) \cos\left(a\right).
Remarques
On démontre ces formules en posant \displaystyle b=a dans les formules d’addition et en utilisant \displaystyle \sin^{2}\left(a\right)+\cos^{2}\left(a\right)=1.
Rappel : \displaystyle \sin^{2}\left(a\right) et \displaystyle \cos^{2}\left(a\right) sont des écritures simplifiées pour \displaystyle \left(\sin\left(a\right)\right)^{2} et \displaystyle \left(\cos\left(a\right)\right)^{2}.
3. Etude des fonctions sinus et cosinus
Théorème
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \displaystyle {\mathbb{R}} et leurs dérivées sont :
\displaystyle \sin^{\prime}=\cos
\displaystyle \cos^{\prime}= – \sin
Propriétés
Soient \displaystyle a et \displaystyle b deux réels quelconques. Les fonctions \displaystyle f et \displaystyle g définies sur \displaystyle {\mathbb{R}} par :
\displaystyle f : x\mapsto \sin\left(ax+b\right)
\displaystyle g : x\mapsto \cos\left(ax+b\right)
sont dérivables sur \displaystyle {\mathbb{R}} et :
\displaystyle f^{\prime}\left(x\right)=a \cos\left(ax+b\right)
\displaystyle g^{\prime}\left(x\right)= – a \sin\left(ax+b\right)
Plus généralement, si \displaystyle u est une fonction dérivable sur un intervalle \displaystyle I et \displaystyle f et \displaystyle g définies sur \displaystyle I par :
\displaystyle f : x\mapsto \sin\left(u\left(x\right)\right)
\displaystyle g : x\mapsto \cos\left(u\left(x\right)\right)
alors \displaystyle f et \displaystyle g sont dérivables sur \displaystyle I et :
\displaystyle f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)\times \cos\left(u\left(x\right)\right)
\displaystyle g^{\prime}\left(x\right)= – u^{\prime}\left(x\right)\times \sin\left(u\left(x\right)\right)
Exemples
Soit \displaystyle u une fonction dérivable sur intervalle \displaystyle I :
La fonction \displaystyle u^{n} est dérivable sur \displaystyle I et sa dérivée est \displaystyle u^{\prime}\times nu^{n – 1}
la fonction \displaystyle \dfrac{1}{u} est dérivable sur la partie de \displaystyle I où \displaystyle u\neq 0 et sa dérivée est \displaystyle – \dfrac{u^{\prime}}{u^{2}}
la fonction \displaystyle \sqrt{u} est dérivable sur la partie de \displaystyle I où \displaystyle u > 0 et sa dérivée est \displaystyle \dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}
la fonction \displaystyle \sin\left(u\right) est dérivable sur \displaystyle I et sa dérivée est \displaystyle u^{\prime}\times \cos\left(u\right)
la fonction \displaystyle \cos\left(u\right) est dérivable sur \displaystyle I et sa dérivée est \displaystyle – u^{\prime}\times \sin\left(u\right)
la fonction \displaystyle e^{u} est dérivable sur \displaystyle I et sa dérivée est \displaystyle u^{\prime}\times e^{u}
la fonction \displaystyle \ln\left(u\right) est dérivable sur la partie de \displaystyle I où \displaystyle u > 0 et sa dérivée est \displaystyle \dfrac{u^{\prime}}{u}.
Remarque
C’est un cas particulier du théorème de dérivation de fonctions composées.
Limites
Les fonctions sinus et cosinus ne possèdent pas de limite quand \displaystyle x\rightarrow \pm\infty Par contre on démontre le résultat suivant :
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}=1
Remarque
Cette dernière limite peut s’obtenir en utilisant la définition du nombre dérivé de la fonction sinus pour \displaystyle x=0 (voir fiche méthode Calculer une limite à l’aide du nombre dérivé).
Les fonctions sinus et cosinus étant périodiques, il suffit de les étudier sur un intervalle d’amplitude \displaystyle 2\pi, par exemple \displaystyle \left[ – \pi ; \pi \right].
Pour obtenir la courbe complète, on effectue ensuite des translations de vecteurs \displaystyle \pm2\pi \vec{i}.
Fonction sinus
Tableau de variation de la fonction sinus
Représentation graphique de la fonction sinus
Fonction cosinus
Tableau de variation de la fonction cosinus
Représentation graphique de la fonction cosinus
Remarque
La relation \displaystyle \sin\left(x+\dfrac{\pi }{2}\right)=\cos\left(x\right) montre que la courbe de la fonction sinus se déduit de la courbe de la fonction cosinus par une translation de vecteur \displaystyle \dfrac{\pi }{2}\vec{i}.
Position relative des deux courbes