1. Fonctions linéaires
Définition
Une fonction linéaire est une fonction définie par une formule du type : x\mapsto ax .
a s’appelle le coefficient directeur.
Exemple
La fonction qui à tout nombre réel associe son double est une fonction linéaire de coefficient directeur 2.
On la note : f : x\mapsto 2x.
Propriété
Pour une fonction linéaire f, les valeurs de f\left(x\right) sont proportionnelles aux valeurs de x
Exemple
Voici un tableau de valeur de la fonction f : x\mapsto 2x :
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f\left(x\right) | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Ce tableau est un tableau de proportionnalité.
Propriété
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par le point O origine du repère.
Représentation graphique de la fonction linéaire x\mapsto 2x
2. Fonctions affines
Définition
Une fonction affine est une fonction définie par une formule du type : x\mapsto ax+b.
a s’appelle le coefficient directeur et b s’appelle l’ordonnée à l’origine.
Remarques
Si b=0, la fonction est linéaire. Les fonctions linéaires sont donc des cas particuliers des fonctions affines.
Exemple
La fonction f : x\mapsto – 2x+1 est une fonction affine avec a= – 2 et b=1
Théorème
Soit une fonction affine f : x\mapsto ax+b.
Pour tous nombres réels distincts x_{1} et x_{2}, le coefficient directeur a est égal à :
a=\dfrac{f\left(x_{2}\right) – f\left(x_{1}\right)}{x_{2} – x_{1}}
Exercice corrigé
Déterminer la fonction affine f telle f\left(2\right)=1 et f\left(4\right)=5.
f étant une fonction affine, la formule donnant f\left(x\right) est de la forme f\left(x\right)=ax+b.
D’après le théorème précédent, le coefficient directeur a est égal à :
a=\dfrac{f\left(4\right) – f\left(2\right)}{4 – 2}=\dfrac{5 – 1}{4 – 2}=\dfrac{4}{2}=2
On a donc f\left(x\right)=2x+b
Pour trouver la valeur de b, on utilise le fait que f\left(2\right)=1 donc 2\times 2+b=1.
4+b=1
b=1 – 4
b= – 3
Par conséquent f est définie par f\left(x\right)=2x – 3
Propriété
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Remarque
Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points de cette droite. Il suffit donc de calculer les images de deux nombres pour tracer la représentation graphique d’une fonction affine.
Exemple
On veut tracer la représentation graphique de la fonction f : x\mapsto – 2x+1.
Cette représentation graphique est une droite.
comme f\left(0\right)= – 2\times 0+1=1, cette droite passe par le point A\left(0;1\right)
comme f\left(1\right)= – 2\times 1+1= – 1, cette droite passe par le point B\left(1; – 1\right)
On en déduit la représentation ci-dessous :
Représentation graphique de la fonction x\mapsto – 2x+1