Fonctions linéaires
Définition
Une fonction linéaire est une fonction f définie sur \mathbb{R} par une formule du type : x\mapsto ax où a \in \mathbb{R}.
a s’appelle le coefficient de la fonction f.
Remarque
La définition ci-dessus indique que si f est une fonction linéaire, les valeurs de f\left(x\right) sont proportionnelles aux valeurs de x, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient a de la fonction f.
Propriété
La courbe représentative d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.
Exemple
Représentation graphique de la fonction linéaire x\mapsto \dfrac{3}{2}x
Propriété
Soit f une fonction linéaire.
Pour tous réels x et x^{\prime} : f\left(x+x^{\prime}\right)=f\left(x\right)+f\left(x^{\prime}\right)
Pour tous réels k et x : f\left(kx\right)=kf\left(x\right)
Fonctions affines
Définition
Une fonction affine est une fonction définie sur \mathbb{R} par une formule du type : x\mapsto ax+b où a \in \mathbb{R} et b \in \mathbb{R}.
Remarque
Si b=0, la fonction est linéaire. Les fonctions linéaires sont donc des cas particuliers des fonctions affines.
Propriété
La courbe représentative d’une fonction affine est une droite.
a est le coefficient directeur de la droite et b son ordonnée à l’origine.
Exemple
Représentation graphique de la fonction affine x\mapsto \dfrac{1}{2}x+2
Propriété
Soit f une fonction affine de représentation graphique \mathscr D et soient A et B deux points de \mathscr D.
Le rapport \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A} ne dépend pas des points A et B choisis et est égal au coefficient directeur de la droite \mathscr D :
a = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A}
Coefficient directeur de \mathscr{D} : a = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A}=\dfrac{1,5}{3}=0,5
Théorème
Une fonction affine x \longmapsto ax+b est :
strictement croissante si a est strictement positif.
strictement décroissante si a est strictement négatif.
constante si a est nul.
Démonstration
Démontrons, par exemple, que la fonction f : x\mapsto ax+b est strictement décroissante si a < 0.
Soient deux réels x_1 et x_2 tels que x_1 < x_2
Alors ax_1 > ax_2 (on change le sens de l’inégalité car on multiplie par un réel négatif) donc
ax_1+b > ax_2+b c’est à dire :
f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right)
Le sens de l’inégalité est inversé donc f est strictement décroissante sur \mathbb{R}.
Remarque
Ce théorème s’applique aussi aux fonctions linéaires puisque les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières.