Notion de fonction
Définition
Une fonction f est un procédé qui à tout nombre réel x d’une partie D de \mathbb{R} associe un seul nombre réel y.
x s’appelle la variable.
y s’appelle l’image de x par la fonction f et se note f\left(x\right)
f est la fonction et se note: f : x \mapsto y=f\left(x\right).
Remarque
Les procédés permettant d’associer un nombre à un autre nombre peuvent être :
des formules mathématiques (par exemple : f\left(x\right)=\dfrac{1}{1+x^2})
une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d’une action en Bourse en fonction du temps)
un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d’un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)
un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne
une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant
etc.
Méthode (Calcul d’une image)
Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction définie par une formule on remplace x par ce nombre dans l’expression de f\left(x\right)
Exemple
Soit la fonction f définie par f\left(x\right)=\dfrac{x^2+3}{x+1}
Pour calculer l’image de 1 – notée f\left(1\right) – on remplace x par 1 dans la formule donnant f\left(x\right). On obtient alors :
f\left(1\right)=\dfrac{1^2+3}{1+1}=\dfrac{4}{2}=2
Pour calculer l’image de – 2, on remplace x par \left( – 2\right) dans cette même formule. Pensez bien à ajouter une parenthèse lorsque x est négatif ou lorsqu’il s’agit d’une expression fractionnaire. On obtient :
f\left( – 2\right)=\dfrac{\left( – 2\right)^2+3}{\left( – 2\right)+1}=\dfrac{7}{ – 1}= – 7
Définition
L’ensemble \mathscr D des éléments x de \mathbb{R} qui possèdent une image par f s’appelle l’ensemble de définition de f.
On dit également que f est définie sur \mathscr D
Remarque
Certaines fonctions sont définies sur \mathbb{R} en entier. Parfois, cependant, l’ensemble de définition est plus petit. C’est en particulier le cas:
s’il est impossible de calculer f\left(x\right) pour certaines valeurs de x (par exemple la fonction f : x \mapsto \dfrac{1}{x} n’est pas définie pour x=0 car il est impossible de diviser par zéro
si la fonction n’a aucune signification pour certaines valeurs de x; par exemple la fonction donnant l’aire d’un carré en fonction de la longueur x de ses côtés n’a pas de sens pour x négatif.
Définition
Soit y un nombre réel. Les antécédents de y par f sont les nombres réels x appartenant à \mathscr D tels que f\left(x\right)=y. Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).
Méthode (Calcul des antécédents)
Pour déterminer les antécédents d’un nombre y, on résout l’équation f\left(x\right)=y d’inconnue x.
Exemple
Soit la fonction f définie par f\left(x\right)=\dfrac{x+5}{x+1}
Pour déterminer le ou les antécédents du nombre 2 on résout l’équation f\left(x\right)=2 c’est à dire :
\dfrac{x+5}{x+1}=2
On obtient alors :
x+5=2\left(x+1\right) ( produit en croix )
x+5=2x+2
x – 2x=2 – 5
– x= – 3
x=3
Le nombre 2 possède un unique antécédent qui est x=3.
Représentation graphique
Dans cette section, on munit le plan \mathscr P d’un repère orthogonal \left(O, i, j\right)
Définition
Soit f une fonction définie sur un ensemble \mathscr D.
La représentation graphique de f est la courbe \mathscr C_f formée des points M\left(x;y\right) où x\in \mathscr D et y=f\left(x\right)
On dit aussi que la courbe \mathscr C_f a pour équation y=f\left(x\right).
Exemple
Exemple de représentation graphique d’une fonction définie sur [-1;1]
Remarque
Du fait qu’un nombre ne peut pas avoir plusieurs images, la courbe représentative d’une fonction ne peut pas contenir plusieurs points situés sur la même verticale (droite parallèle à l’axe des ordonnées).
Par contre, il peut très bien y avoir plusieurs points situés sur une même horizontale comme dans l’exemple ci-dessus.
Lecture graphique de l’image d’un nombre
Pour déterminer graphiquement l’image de 0,5 par la fonction f:
on place le point de d’abscisse 0,5 sur l’axe des abscisses
on le relie au point M de la courbe qui a la même abscisse
l’ordonnée du point M nous donne la valeur de f\left(0,5\right); on trouve ici environ 0,6.
Lecture graphique des antécédents d’un nombre
Pour déterminer graphiquement les antécédents de 0,9 par la fonction f:
on place le point de d’ordonnée 0,9 sur l’axe des ordonnées
on trace la droite horizontale (d’équation y=0,9) qui passe par ce point
on trace le(s) point(s) d’intersection de cette droite avec la courbe. Dans cet exemple on en trouve deux ; dans d’autres exemples on pourrait en trouver zéro, un, deux ou plus…
les abscisses de ces points d’intersection nous donne les antécédents de 0,9; on trouve ici deux antécédents qui valent environ 0,1 et 0,95.
Variations d’une fonction
Définition
La fonction f est croissante sur l’intervalle I si pour tous réels x_1 et x_2 appartenant à I tels que x_1\leqslant x_2 on a f\left(x_1\right)\leqslant f\left(x_2\right).
Remarque
Intuitivement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction f monte lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses (e.g. de gauche à droite)
Définition
La fonction f est décroissante sur l’intervalle I si pour tous réels x_1 et x_2 appartenant à I tels que x_1 \leqslant x_2 on a f\left(x_1\right) \geqslant f\left(x_2\right).
Remarque
Intuitivement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction f descend lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses (e.g. de gauche à droite)
Définition
Soit I un intervalle et x_0 \in I.
La fonction f admet un maximum en x_0 sur l’intervalle I si pour tout réel x de I, f\left(x\right)\leqslant f\left(x_0\right). Le maximum de la fonction f sur I est alors M=f\left(x_0\right)
Définition
Soit I un intervalle et x_0 \in I.
La fonction f admet un minimum en x_0 sur l’intervalle I si pour tout réel x de I, f\left(x\right)\geqslant f\left(x_0\right). Le minimum de la fonction f sur I est alors m=f\left(x_0\right)
Remarques
Un extremum est un maximum ou un minimum
Attention à la rédaction : Lorsqu’on dit que f admet un maximum (resp. minimum) en x_0 (ou pour x=x_0), x_0 correspond à la valeur de la variable x et non à la valeur du maximum (resp. minimum).
Par exemple, dans le tableau de l’exemple ci-dessous, f admet un maximum en 0. Ce maximum est égal à 6 (Ne pas écrire que le maximum est 0 ! ).
Les variations d’une fonction peuvent être représentées par un tableau de variations
Exemple
Soit f une fonction définie sur \left[ – 2;5\right], croissante sur \left[ – 2;0\right] et décroissante sur \left[0; 5\right] avec f\left( – 2\right)= – 3, f\left(0\right)=6 et f\left(5\right)=1
Le tableau de variations de la fonction f est :
