Fonctions continues
Définition
Une fonction définie sur un intervalle I est continue sur I si l’on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon
Exemples
Les fonctions polynômes sont continues sur \mathbb{R}.
Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle contenu dans leur ensemble de définition.
La fonction racine carrée est continue sur {\mathbb{R}^+}.
Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur \mathbb{R}
Théorème
Si f et g sont continues sur I, les fonctions f+g, kf (k\in \mathbb{R}) et f\times g sont continues sur I.
Si, de plus, g ne s’annule pas sur I, la fonction \dfrac{f}{g}, est continue sur I.
Théorème (lien entre continuité et dérivabilité)
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I.
Remarque
Attention ! La réciproque est fausse.
Par exemple, la fonction valeur absolue (x\mapsto |x|) est continue sur \mathbb{R} tout entier mais n’est pas dérivable en 0.
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est une fonction continue sur un intervalle \left[a;b\right] et si y_{0} est compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), alors l’équation f\left(x\right)=y_{0} admet au moins une solution sur l’intervalle \left[a;b\right].
Remarques
Ce théorème dit que l’équation f\left(x\right)=y_{0} admet une ou plusieurs solutions mais ne permet pas de déterminer le nombre de ces solutions. Dans les exercices où l’on recherche le nombre de solutions, il faut utiliser le corollaire ci-dessous.
Cas particulier fréquent : Si f est continue et si f\left(a\right) et f\left(b\right) sont de signes contraires, l’équation f\left(x\right)=0 admet au moins une solution sur l’intervalle \left[a;b\right] (en effet, si f\left(a\right) et f\left(b\right) sont de signes contraires, 0 est compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right))
Corollaire (du théorème des valeurs intermédiaires)
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \left[a;b\right] et si y_{0} est compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), l’équation f\left(x\right)=y_{0} admet une unique solution sur l’intervalle \left[a;b\right].
Remarques
Il faut vérifier 3 conditions pour pouvoir appliquer ce corollaire:
f est continue sur \left[a;b\right]
f est strictement croissante ou strictement décroissante sur \left[a;b\right]
y_{0} est compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right)
Exemple
Soit une fonction f définie sur [0;4] dont le tableau de variations est fourni ci-dessous :
On cherche à déterminer le nombre de solutions de l’équation f\left(x\right)= – 1
L’unique flèche oblique montre que la fonction f est continue et strictement croissante sur \left[0;4\right].
– 1 est compris entre f\left(0\right)= – 3 et f\left(4\right)=1.
Par conséquent, l’équation f\left(x\right)= – 1 admet une unique solution sur l’intervalle [0;4].