1. Fonctions continues
Définition
Une fonction définie sur un intervalle \displaystyle I est continue sur \displaystyle I si l’on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon
Exemples
Les fonctions polynômes sont continues sur \displaystyle {\mathbb{R}}.
Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle contenu dans leur ensemble de définition.
La fonction racine carrée est continue sur \displaystyle {\mathbb{R}^+}.
Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur \displaystyle {\mathbb{R}}.
Théorème
Si \displaystyle f et \displaystyle g sont continues sur \displaystyle I, les fonctions \displaystyle f+g, \displaystyle kf ( \displaystyle k\in {\mathbb{R}} ) et \displaystyle f\times g sont continues sur \displaystyle I.
Si, de plus, \displaystyle g ne s’annule pas sur \displaystyle I, la fonction \displaystyle \dfrac{f}{g}, est continue sur \displaystyle I.
Théorème (lien entre continuité et dérivabilité)
Toute fonction dérivable sur un intervalle \displaystyle I est continue sur \displaystyle I.
Remarque
Attention ! La réciproque est fausse.
Par exemple, la fonction valeur absolue (\displaystyle x\mapsto |x|) est continue sur \displaystyle {\mathbb{R}} tout entier mais n’est pas dérivable en 0.
Propriété (lien entre continuité et limite)
Si \displaystyle f est une fonction continue sur un intervalle \displaystyle \left[a ; b\right], alors pour tout \displaystyle \alpha \in \left[a ; b\right] :
\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow \alpha ^ – }f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow \alpha ^+}f\left(x\right)=f\left(\alpha \right).
Exemple
Montrons à l’aide de cette propriété que la fonction partie entière (notée \displaystyle x\mapsto E\left(x\right)), qui à tout réel \displaystyle x associe le plus grand entier inférieur ou égal à \displaystyle x, n’est pas continue en \displaystyle 1.
Si \displaystyle x est un réel positif et strictement inférieur à \displaystyle 1, sa partie entière vaut \displaystyle 0.
Donc \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 1^ – }E\left(x\right)=0.
Par ailleurs, la partie entière de \displaystyle 1 vaut \displaystyle 1 c’est à dire \displaystyle E\left(1\right)=1.
Donc \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 1^ – }E\left(x\right)\neq E\left(1\right).
La fonction partie entière n’est donc pas continue en \displaystyle 1 (en fait, elle est discontinue en tout point d’abscisse entière).
Fonction partie entière
2. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Si \displaystyle f est une fonction continue sur un intervalle \displaystyle \left[a;b\right] et si \displaystyle y_{0} est compris entre \displaystyle f\left(a\right) et \displaystyle f\left(b\right), alors l’équation \displaystyle f\left(x\right)=y_{0} admet au moins une solution sur l’intervalle \displaystyle \left[a ; b\right].
Remarques
Ce théorème dit que l’équation \displaystyle f\left(x\right)=y_{0} admet une ou plusieurs solutions mais ne permet pas de déterminer le nombre de ces solutions. Dans les exercices où l’on recherche le nombre de solutions, il faut utiliser le corollaire ci-dessous.
Cas particulier fréquent : Si \displaystyle f est continue et si \displaystyle f\left(a\right) et \displaystyle f\left(b\right) sont de signes contraires, l’équation \displaystyle f\left(x\right)=0 admet au moins une solution sur l’intervalle \displaystyle \left[a ; b\right] (en effet, si \displaystyle f\left(a\right) et \displaystyle f\left(b\right) sont de signes contraires, \displaystyle 0 est compris entre \displaystyle f\left(a\right) et \displaystyle f\left(b\right)).
Corollaire (du théorème des valeurs intermédiaires)
Si \displaystyle f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \displaystyle \left[a ; b\right] et si \displaystyle y_{0} est compris entre \displaystyle f\left(a\right) et \displaystyle f\left(b\right), l’équation \displaystyle f\left(x\right)=y_{0} admet une unique solution sur l’intervalle \displaystyle \left[a ; b\right].
Remarques
Ce dernier théorème est aussi parfois appelé Théorème de la bijection
Il faut vérifier 3 conditions pour pouvoir appliquer ce corollaire:
\displaystyle f est continue sur \displaystyle \left[a ; b\right]
\displaystyle f est strictement croissante ou strictement décroissante sur \displaystyle \left[a ; b\right]
\displaystyle y_{0} est compris entre \displaystyle f\left(a\right) et \displaystyle f\left(b\right).
Les deux théorèmes précédents se généralisent à un intervalle ouvert \displaystyle \left]a ; b\right[ où \displaystyle a et \displaystyle b sont éventuellement infinis. Il faut alors remplacer \displaystyle f\left(a\right) et \displaystyle f\left(b\right) (qui ne sont alors généralement pas définis) par \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) et \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow b}f\left(x\right)
Exemple
Soit une fonction \displaystyle f définie sur \displaystyle \left]0 ; +\infty \right[ dont le tableau de variation est fourni ci-dessous :
On cherche à déterminer le nombre de solutions de l’équation \displaystyle f\left(x\right)= – 1.
L’unique flèche oblique montre que la fonction \displaystyle f est continue et strictement croissante sur \displaystyle \left]0;+\infty \right[.
\displaystyle – 1 est compris entre \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left(x\right)= – \infty et \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=1.
Par conséquent, l’équation \displaystyle f\left(x\right)= – 1 admet une unique solution sur l’intervalle \displaystyle \left]0 ; +\infty \right[.
3. Calcul de dérivées
Le tableau ci-dessous recense les dérivées usuelles à connaitre en Terminale S. Pour faciliter les révisions, toutes les formules du programme ont été recensées ; certaines seront étudiées dans les chapitres ultérieurs.
Dérivée des fonctions usuelles
| Fonction | Dérivée | Ensemble de dérivabilité |
|---|---|---|
| \displaystyle k \displaystyle \left(k\in {\mathbb{R}}\right) | \displaystyle 0 | \displaystyle {\mathbb{R}} |
| \displaystyle x | \displaystyle 1 | \displaystyle {\mathbb{R}} |
| \displaystyle x^{n} \displaystyle \left(n\in \mathbb{N}\right) | \displaystyle nx^{n – 1} | \displaystyle {\mathbb{R}} |
| \displaystyle \dfrac{1}{x^{n}} \displaystyle \left(n\in \mathbb{N}\right) | \displaystyle – \dfrac{n}{x^{n+1}} | \displaystyle {\mathbb{R}} – \left\{0\right\} |
| \displaystyle \sqrt{x} | \displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x}} | \displaystyle \left]0;+\infty \right[ |
| \displaystyle \sin\left(x\right) | \displaystyle \cos\left(x\right) | \displaystyle {\mathbb{R}} |
| \displaystyle \cos\left(x\right) | \displaystyle – \sin\left(x\right) | \displaystyle {\mathbb{R}} |
| \displaystyle e^{x} | \displaystyle e^{x} | \displaystyle {\mathbb{R}} |
| \displaystyle \ln\left(x\right) | \displaystyle \dfrac{1}{x} | \displaystyle \left]0; – \infty \right[ |
Propriété
Soient une fonction \displaystyle f définie et dérivable sur un certain intervalle et \displaystyle a et \displaystyle b deux réels.
Alors la fonction \displaystyle g : x\mapsto f\left(ax+b\right) est dérivable là où elle est définie et :
\displaystyle g^{\prime}\left(x\right)=af^{\prime}\left(ax+b\right).
Exemples
Soit \displaystyle u une fonction dérivable sur intervalle \displaystyle I :
la fonction \displaystyle u^{n} est dérivable sur \displaystyle I et sa dérivée est \displaystyle u^{\prime}\times nu^{n – 1}
la fonction \displaystyle \dfrac{1}{u} est dérivable sur la partie de \displaystyle I où \displaystyle u\neq 0 et sa dérivée est \displaystyle – \dfrac{u^{\prime}}{u^{2}}
la fonction \displaystyle \sqrt{u} est dérivable sur la partie de \displaystyle I où \displaystyle u > 0 et sa dérivée est \displaystyle \dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}
la fonction \displaystyle \sin\left(u\right) est dérivable sur \displaystyle I et sa dérivée est \displaystyle u^{\prime}\times \cos\left(u\right)
la fonction \displaystyle \cos\left(u\right) est dérivable sur \displaystyle I et sa dérivée est \displaystyle – u^{\prime}\times \sin\left(u\right)
la fonction \displaystyle e^{u} est dérivable sur \displaystyle I et sa dérivée est \displaystyle u^{\prime}\times e^{u}
la fonction \displaystyle \ln\left(u\right) est dérivable sur la partie de \displaystyle I où \displaystyle u > 0 et sa dérivée est \displaystyle \dfrac{u^{\prime}}{u}.