Définition de la fonction logarithme népérien
Théorème et définition
Pour tout réel x>0, l’équation e^{y}=x, d’inconnue y, admet une unique solution.
La fonction logarithme népérien, notée \ln, est la fonction définie sur \left]0;+\infty \right[ qui à x > 0, associe le réel y solution de l’équation e^{y}=x.
Remarques
Pour x\leqslant 0, par contre, l’équation e^{y}=x n’a pas de solution.
Propriétés
Pour tout réel x > 0 et tout y \in \mathbb{R} : e^{y}=x \Leftrightarrow y=\ln\left(x\right).
Pour tout réel x > 0 : e^{\ln\left(x\right)}=x.
Pour tout réel x : \ln\left(e^{x}\right)=x.
Remarques
Ces propriétés se déduisent immédiatement de la définition.
On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques.
On en déduit immédiatement : \ln\left(1\right)=0 et \ln\left(e\right)=1.
Etude de la fonction logarithme népérien
Théorème
La fonction logarithme népérien est dérivable sur \left]0 ;+\infty \right[ et sa dérivée est définie par :
\ln^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x}.
Propriété
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \left]0;+\infty \right[.
Démonstration
Sa dérivée \ln^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x} est strictement positive sur \left]0;+\infty \right[.
Remarques
Ces résultats permettent de tracer le tableau de variation et la courbe représentative de la fonction logarithme népérien :
Tableau de variation de la fonction logarithme népérien
Représentation graphique de la fonction logarithme népérien
Propriété
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
Alors la fonction f : x\mapsto \ln\left(u\left(x\right)\right) est dérivable sur I et :
f^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}.
Exemple
Soit f définie sur {\mathbb{R}} par f\left(x\right)=\ln\left(x^{2}+1\right).
f est dérivable sur {\mathbb{R}} et f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}.
Théorème
Si a et b sont 2 réels strictement positifs :
\ln a=\ln b si et seulement si a=b.
\ln a < \ln b si et seulement si a < b.
Remarques
Le théorème précédent résulte de la stricte croissance de la fonction logarithme népérien.
En particulier, comme \ln\left(1\right)=0 : \ln x < 0 \Leftrightarrow x < 1. N’oubliez donc pas que \ln\left(x\right) peut être négatif (si 0 < x < 1); c’est une cause d’erreurs fréquente dans les exercices notamment avec des inéquations !
Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
Théorème
Si a et b sont 2 réels strictement positifs et si n\in {\mathbb{Z}} :
\ln\left(ab\right)=\ln a+\ln b.
\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)= – \ln a.
\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a – \ln b.
\ln\left(a^{n}\right)=n \ln a.
\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2} \ln a.
Exemples
\ln\left(4\right)=\ln\left(2^{2}\right)=2\ln\left(2\right).
Pour x > 1 : \ln\left(\dfrac{x+1}{x – 1}\right)= \ln\left(x+1\right) – \ln\left(x – 1\right).
Cette égalité peut être intéressante (pour calculer la dérivée par exemple) mais il faut que x > 1.
Si x < - 1, l’expression \ln\left(\dfrac{x+1}{x – 1}\right) est définie mais pas \ln\left(x+1\right) – \ln\left(x – 1\right).