I. La fonction carré
Définition
La fonction carré est la fonction définie sur \mathbb{R} par : x\mapsto x^2.
Sa courbe représentative est une parabole.
Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Propriété
La fonction carré est strictement décroissante sur \left] – \infty ; 0\right[ et strictement croissante sur \left]0; \infty \right[. Elle admet en 0 un minimum égal à 0.
Tableau de variations de la fonction carrée
Démonstration
Démontrons par exemple que la fonction carré est décroissante sur \left] – \infty ; 0\right[.
Notons f : x\mapsto x^2 et soient x_1 et x_2, deux réels quelconques tels que x_1 < x_2 < 0.
Alors :
f\left(x_1\right) – f\left(x_2\right)=x_1^2 – x_2^2=\left(x_1 – x_2\right)\left(x_1+x_2\right)
Or x_1 – x_2 < 0 car x_1 < x_2
et x_1+x_2 < 0 car x_1 et x_2 sont tous les deux négatifs.
Donc le produit \left(x_1 – x_2\right)\left(x_1+x_2\right) est positif.
On en déduit f\left(x_1\right) – f\left(x_2\right) > 0 donc f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right)
x_1 < x_2 < 0 \Rightarrow f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right), donc la fonction f est strictement décroissante sur \left] – \infty ; 0\right[.
Propriété
Soit a un nombre réel. Dans \mathbb{R}, l’équation x^2=a
n’admet aucune solution si a < 0
admet x=0 comme unique solution si a=0
admet deux solutions \sqrt{a} et – \sqrt{a} si a > 0
Exemples
L’équation x^2=2 admet deux solutions : \sqrt{2} et – \sqrt{2}.
L’équation x^2+1=0 est équivalente à x^2= – 1. Elle n’admet donc aucune solution réelle.
II. Fonctions polynômes du second degré
Définition
Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur \mathbb{R} par : x\mapsto ax^2+bx+c.
où a,b et c sont des réels appelés coefficients et a\neq 0
Sa courbe représentative est une parabole, elle admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
Remarque
Une expression de la forme ax^2+bx+c avec a\neq 0 est la forme développée d’un polynôme du second degré.
Une expression de la forme a\left(x – x_1\right)\left(x – x_2\right) avec a\neq 0 est la forme factorisée d’un polynôme du second degré.
Théorème
Une fonction polynôme du second degré est : Si a > 0 :
strictement décroissante sur \left] – \infty ; \dfrac{ – b}{2a}\right] et strictement croissante sur \left[\dfrac{ – b}{2a}; +\infty \right[. Si a < 0 :
strictement croissante sur \left] – \infty ; \dfrac{ – b}{2a}\right] et strictement décroissante sur \left[\dfrac{ – b}{2a}; +\infty \right[.
Tableau de variations d’une fonction polynôme du second degré pour a > 0
Tableau de variations d’une fonction polynôme du second degré pour a < 0
Exemple
Soit f\left(x\right)=x^2 – 4x+3
Courbe représentative de f~:~x\longmapsto x^2 – 4x+3
Propriété et définition
Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb{R} par : f\left(x\right)=ax^2+bx+c
f\left(x\right) peut s’écrire sous la forme :
f\left(x\right)=a\left(x – \alpha \right)^2+\beta
avec \alpha = – \dfrac{b}{2a} et \beta = f\left(\alpha \right)
Cette écriture est appelée forme canonique.
\left(\alpha ; \beta \right) sont les coordonnées du sommet de la parabole.
Remarque
Une caractéristique de la forme canonique est que la variable x n’apparaît qu’à un seul endroit dans l’écriture.
Exemple
Reprenons l’exemple f\left(x\right)=x^2 – 4x+3
On a \alpha = – \dfrac{b}{2a}= – \dfrac{ – 4}{2\times 1}=2
et \beta =f\left(2\right)=2^2 – 4\times 2+3= – 1
donc la forme canonique de f est :
f\left(x\right)=\left(x – 2\right)^2 – 1