Rappels
Rappels de définitions
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
Chacun des résultats possibles s’appelle une éventualité (ou une issue).
L’ensemble \Omega de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.
On définit une loi de probabilité sur \Omega en associant, à chaque éventualité x_{i}, un réel p_{i} compris entre 0 et 1 tel que la somme de tous les p_{i} soit égale à 1.
Un événement est un sous-ensemble de \Omega.
Exemples
Le lancer d’un dé à six faces est une expérience aléatoire d’univers comportant 6 éventualités: \Omega =\left\{1; 2; 3; 4; 5; 6\right\}
L’ensemble E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\} est un événement. En français, cet événement peut se traduire par la phrase : le résultat du dé est un nombre pair
L’ensemble E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\} est un autre événement. Ce second événement peut se traduire par la phrase : le résultat du dé est strictement inférieur à 4 .
Définitions
l’événement contraire de A noté \bar{A} est l’ensemble des éventualités de \Omega qui n’appartiennent pas à A.
l’événement A \cup B (lire A union B ou A ou B) est constitué des éventualités qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.
l’événement A \cap B (lire A inter B ou A et B) est constitué des éventualités qui appartiennent à la fois à A et à B.
Exemple
On reprend l’exemple précédent : E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\} E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\}
\overline{E}_{1}=\left\{1; 3; 5\right\} : cet événement peut se traduire par le résultat est un nombre impair
E_{1} \cup E_{2}=\left\{1; 2; 3; 4; 6\right\} : cet événement peut se traduire par le résultat est pair ou strictement inférieur à 4.
E_{1} \cap E_{2}=\left\{2\right\} : cet événement peut se traduire par le résultat est pair et strictement inférieur à 4.
Définition
On dit que A et B sont incompatibles si et seulement si A \cap B=\varnothing
Remarque
Deux événements contraires sont incompatibles mais deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires.
Exemple
Obtenir un chiffre inférieur à 2 et obtenir un chiffre supérieur à 4 sont deux événements incompatibles.
Propriétés
p\left(\varnothing\right)=0
p\left(\Omega \right)=1
p\left(\overline{A}\right)=1 – p\left(A\right)
p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right) – p\left(A \cap B\right).
Si A et B sont incompatibles, la dernière égalité devient :
p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right).
Arbre
Lorsqu’une expérience aléatoire comporte plusieurs étapes, on utilise souvent un arbre pondéré pour la représenter.
Exemple
Dans une classe de Terminale, 52
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On choisit un élève au hasard et on note :
G : l’événement l’élève choisi est un garçon
F : l’événement l’élève choisie est une fille
B : l’événement l’élève choisi(e) a obtenu son baccalauréat.
On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré ci-dessous :
Le premier niveau indique le genre de l’élève (G ou F) et le second indique l’obtention du diplôme (B ou \overline{B}).
On inscrit les probabilités sur chacune des branches.
La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d’un même nœud est toujours égale à 1.
Probabilités conditionnelles
Définition
Soit A et B deux événements tels que p\left(A\right)\neq 0, la probabilité de B sachant A est le nombre :
p_{A}\left(B\right)=\dfrac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)}.
On peut aussi noter cette probabilité p\left(B/A\right).
Exemple
On reprend l’exemple du lancer d’un dé. La probabilité d’obtenir un chiffre pair sachant que le chiffre obtenu est strictement inférieur à 4 est (en cas d’équiprobabilité) :
p_{E_{2}}\left(E_{1}\right)=\dfrac{p\left(E_{1} \cap E_{2}\right)}{p\left(E_{2}\right)}=\dfrac{1}{3}.
Remarques
L’égalité précédente s’emploie souvent sous la forme : p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right) pour calculer la probabilité de A \cap B.
Attention à ne pas confondre p_{A}\left(B\right) et p\left(A \cap B\right) dans les exercices.
On doit calculer p_{A}\left(B\right) lorsque l’on sait que A est réalisé.Avec un arbre pondéré, les probabilités conditionnelles figurent sur les branches du second niveau et des niveaux supérieurs (s’il y en a).
La probabilité inscrite sur la branche reliant A à B est p_A(B).
Typiquement, un arbre binaire à deux niveaux se présentera ainsi :
La formule p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right) s’interprète alors de la façon suivante :
La probabilité de l’événement A \cap B s’obtient en faisant le produit des probabilités inscrites sur le chemin passant par A et B.
Événements indépendants
Définition
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :
p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right).
Propriété
A et B sont indépendants si et seulement si :
p_{A}\left(B\right)=p\left(B\right).
Démonstration
Elle résulte directement du fait que pour deux événements quelconques :
p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right).
Remarque
Comme A \cap B=B \cap A, A et B sont interchangeables dans cette formule et on a également :
A et B sont indépendants \Leftrightarrow p_{B}\left(A\right)=p\left(A\right).
Formule des probabilités totales
Définition
A_{1}, A_{2}, … , A_{n} forment une partition de \Omega si et seulement si A_{1} \cup A_{2} . . . \cup A_{n}=\Omega et A_{i} \cap A_{j}=\varnothing pour i\neq j.
Cas particulier fréquent
Pour toute partie A\subset\Omega, A et \overline{A} forment une partition de \Omega.
Propriété (Formule des probabilités totales)
Si A_{1}, A_{2},… A_{n} forment une partition de \Omega, pour tout événement B, on a :
p\left(B\right)=p\left(A_{1} \cap B\right)+p\left(A_{2} \cap B\right)+ \cdots +p\left(A_{n} \cap B\right).
Cette formule peut également s’écrire à l’aide de probabilités conditionnelles :
p\left(B\right)=p\left(A_{1} \right)\times p_{A_{1} }\left(B\right)+p\left(A_{2} \right)\times p_{A_{2}}\left(B\right)+\cdots+p\left(A_{n}\right)\times p_{A_{n}}\left(B\right).
Cas particulier fréquent
En utilisant la partition \left\{A, \overline{A}\right\}, quels que soient les événements A et B :
p\left(B\right)=p\left(A \cap B\right)+p\left(\overline{A} \cap B\right) p\left(B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)+p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}\left(B\right)
Remarque
À l’aide d’un arbre pondéré, ce résultat s’interprète de la façon
suivante:
La probabilité de l’événement B est égale à la somme des probabilités des
trajets menant à B.
