1. Équation réduite d’une droite
Propriété
Une droite du plan peut être caractérisée une équation de la forme :
x=c si cette droite est parallèle à l’axe des ordonnées ( verticale ).
y=mx+p si cette droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.
Dans le second cas, m est appelé coefficient directeur et p ordonnée à l’origine.
Exemples
Remarques
L’équation d’une droite peut s’écrire sous plusieurs formes. Par exemple y=2x – 1 est équivalente à y – 2x+1=0 ou 2y – 4x+2=0, etc.
Les formes x=c et y=mx+p sont appelées équation réduite de la droite.
Cette propriété indique que toute droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine.(Voir chapitre Fonctions linéaires et affines)
Une droite parallèle à l’axe des abscisses a un coefficient direct m égal à zéro. Son équation est donc de la forme y=p. C’est la représentation graphique d’une fonction constante.
Propriété
Soient A et B deux points du plan tels que x_A\neq x_B.
Le coefficient directeur de la droite \left(AB\right) est :
m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A}
Remarque
Une fois que le coefficient directeur de la droite \left(AB\right) est connu, on peut trouver l’ordonnée à l’origine en sachant que la droite \left(AB\right) passe par le point A donc que les coordonnées de A vérifient l’équation de la droite.
Exemple
On recherche l’équation de la droite passant par les points A\left(1 ; 3\right) et B\left(3 ; 5\right).
Les points A et B n’ayant pas la même abscisse, cette équation est du type y=mx+p avec :
m = \dfrac{y_B – y_A}{x_B – x_A}=\dfrac{5 – 3}{3 – 1}=\dfrac{2}{2}=1
Donc l’équation de \left(AB\right) est de la forme y=x+p. Comme cette droite passe par A, l’équation est vérifiée si on remplace x et y par les coordonnées de A donc :
3=1+p soit p=2.
L’équation de \left(AB\right) est donc y=x+2.
2. Droites parallèles – Droites sécantes
Propriété
Deux droites d’équations respectives y=mx+p et y=m^{\prime}x+p^{\prime} sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur : m=m^{\prime}.
Exemple
Équations de droites parallèles
Méthode
Soient \mathscr D et \mathscr D^{\prime} deux droites sécantes d’équations respectives y=mx+p et y=m^{\prime}x+p^{\prime}.
Les coordonnées \left(x ; y\right) du point d’intersection des droites \mathscr D et \mathscr D^{\prime} s’obtiennent en résolvant le système :
\left\{ \begin{matrix} y=mx+p \\ y=m^{\prime}x+p^{\prime} \end{matrix}\right.
Remarque
Ce système se résout simplement par substitution. Il est équivalent à :
\left\{ \begin{matrix} mx+p=m^{\prime}x+p^{\prime} \\ y=mx+p \end{matrix}\right.
Exemple
On cherche les coordonnées du point d’intersection des droites \mathscr D et \mathscr D^{\prime} d’équations respectives y=2x+1 et y=3x – 1.
Ces droites n’ont pas le même coefficient directeur donc elles sont sécantes.
Les coordonnées du point d’intersection vérifient le système :
\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x – 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x+1=3x – 1 \\ y=3x – 1 \end{matrix}\right.
\phantom{\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x – 1 \end{matrix}\right.} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=3x – 1 \end{matrix}\right.
\phantom{\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x – 1 \end{matrix}\right.} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=5 \end{matrix}\right.
Le point d’intersection a pour coordonnées \left(2 ; 5\right).