Rappels sur les droites et plans
Propriété
Par deux points distincts de l’espace, il passe une et une seule droite.
Remarque
Dans les exercices où l’on cherche à déterminer une droite (par exemple, pour tracer l’intersection de deux plans), il suffira donc de trouver deux points distincts qui appartiennent à cette droite.
Propriété
Par trois points distincts et non alignés de l’espace, il passe un et un seul plan.
Positions relatives de deux plans
Deux plans distincts de l’espace peuvent être :
strictement parallèles : dans ce cas, ils n’ont aucun point commun
sécants : dans ce cas, leur intersection est une droite
Plans parallèles
Plans sécants
Positions relatives d’une droite et d’un plan
Soient \mathscr D une droite et \mathscr P un plan de l’espace.
La droite \mathscr D peut être :
strictement parallèle au plan \mathscr P : dans ce cas, \mathscr D et \mathscr P n’ont aucun point commun
sécante avec le plan \mathscr P : dans ce cas, \mathscr D et \mathscr P ont un unique point commun
contenue dans le plan \mathscr P
Droite strictement parallèle à un plan
Droite sécante à un plan
Droite contenue (incluse) dans un plan
Positions relatives de deux droites
Soient \mathscr D et \mathscr D^{\prime} deux droites distinctes de l’espace.
Ces droites peuvent être :
non coplanaires : dans ce cas, elles n’ont aucun point commun
coplanaires, c’est à dire contenues dans un même plan ; elles peuvent alors être :
strictement parallèles : dans ce cas, elles n’ont aucun point commun
sécantes : dans ce cas, leur intersection est un point
Droites non coplanaires
Droites strictement parallèles
Droites sécantes
Parallélisme
Propriété
Si un plan \mathscr P_{1} contient deux droites sécantes \mathscr D et \mathscr D^{\prime} parallèles à un plan \mathscr P_{2}, alors le plan \mathscr P_{1} est parallèle au plan \mathscr P_{2}. .
Propriété
Si deux plans \mathscr P_{1} et \mathscr P_{2} sont parallèles, alors tout plan \mathscr P sécant à \mathscr P_{1} est sécant à \mathscr P_{2} et leurs intersections sont deux droites parallèles.
Propriété (Théorème du toit)
Si \mathscr P_{1} et \mathscr P_{2} sont deux plans sécants et si une droite \mathscr D_{1} incluse dans \mathscr P_{1} est parallèle à une droite \mathscr D_{2} incluse dans \mathscr P_{2} alors la droite \mathscr D intersection de \mathscr P_{1} et \mathscr P_{2} est parallèle à \mathscr D_{1} et \mathscr D_{2}.
Vecteurs de l’espace
Définition (vecteurs colinéaires)
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls de l’espace. On dit que les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que \vec{u}=k\vec{v}
Remarques
Par convention, on considérera que le vecteur nul \overrightarrow{0} est colinéaire a n’importe quel vecteur de l’espace
Intuitivement, deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction (mais pas nécessairement le même sens). La notion de vecteurs colinéaires est à rapprocher de la notion de droites parallèles (voir théorème ci-dessous).
Propriété
Soient quatre points distincts A, B, C et D.
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Propriété
Soient deux points distincts A et B.
Un point M appartient à la droite \left(AB\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires.
Remarque
Le vecteur \overrightarrow{AB} où A et B sont deux points distincts de la droite \mathscr D est appelé vecteur directeur de \mathscr D.
Définition (vecteurs coplanaires)
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls et non colinéaires. On dit que le vecteur \vec{w} est coplanaires à \vec{u} et \vec{v} si et seulement si il existe deux réels k et k^{\prime} tels que :
\vec{w}=k\vec{u}+k^{\prime}\vec{v}
Remarques
Intuitivement, le fait que \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} soient coplanaires signifie que si on choisit quatre points O, A, B, C tels que \vec{u}=\overrightarrow{OA}, \vec{v}=\overrightarrow{OB} et \vec{w}=\overrightarrow{OC} alors les points O, A, B et C appartiennent à un même plan.
(sur la figure ci-dessus \vec{w}=\dfrac{1}{2}\vec{u}+\vec{v})
La définition précédente peut se généraliser à plus de trois vecteurs. Pour deux vecteurs, par contre, elle n’a guère d’intérêt car deux vecteurs sont toujours coplanaires
Pour des vecteurs ou des points coplanaires, on peut se placer dans le plan contenant ces points ou ces vecteurs et appliquer les résultats classiques de géométrie plane (théorème des milieux, théorème de Thalès, relation de Chasles, etc.)
Propriété
Soient A, B, C trois points non alignés.
Le point M appartient au plan \left(ABC\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AM} sont coplanaires, c’est à dire si et seulement il existe deux réels k et k^{\prime} tels que :
\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}+k^{\prime}\overrightarrow{AC}
Remarque
Attention ! Notez que dans la propriété ci-dessus, tous les vecteurs ont la même origine A.
Le fait que des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} soient coplanaires ne signifie pas que les points A, B, C, D soient coplanaires.
Par exemple, si on considère le cube ci-dessous, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{FG} sont coplanaires (parce que \overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AD} ou tout simplement parce que deux vecteurs sont toujours coplanaires !) mais les points A, B, F et G ne le sont pas.
Vecteurs coplanaires – Points non coplanaires
Repérage – Représentations paramétriques
Définition
Un repère de l’espace est un quadruplet \left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) où O est un point et \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} trois vecteurs non coplanaires.
Définition
Pour tout point M de l’espace, il existe trois réels x, y et z tels que :
\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}
\left(x~; y~; z\right) s’appellent les coordonnées de M dans le repère \left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)
Remarques
x, y et z s’appellent respectivement l’abscisse, l’ordonnée et la cote du point M
Comme dans le plan, on définit également les coordonnées d’un vecteur de la façon suivante :
les coordonnées du vecteur \vec{u} dans le repère \left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) sont les coordonnées du point M tel que \overrightarrow{OM}=\vec{u}
Propriétés
Pour tous points A \left(x_{A}~; y_{A}~; z_{A}\right) et B\left(x_{B}~; y_{B}~; z_{B}\right) :
le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \left(x_{B} – x_{A}~; y_{B} – y_{A}~; z_{B} – z_{A}\right)
le point M milieu de \left[AB\right] a pour coordonnées \left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}~; \dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}~; \dfrac{z_{A}+z_{B}}{2} \right)
Remarque
Les notions relatives aux repères orthonormés, distances, etc. sont abordées dans le chapitre Orthogonalité et produit scalaire
Théorème et définition (Représentation paramétrique d’une droite)
Un point M\left(x~; y~; z\right) appartient à la droite \mathscr D passant par A\left(x_{A}~; y_{A}~; z_{A}\right) et de vecteur directeur \vec{u}\left(a~; b~; c\right) si et seulement si il existe un réel k tel que :
\left\{ \begin{matrix} x=x_{A}+ak \\ y=y_{A}+bk \\ z=z_{A}+ck \end{matrix}\right. avec k \in \mathbb{R}
Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite \mathscr D
Démonstration
Elle est immédiate en utilisant :
\vec{u} et \overrightarrow{AM} sont colinéaires \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=k\vec{u}
Remarque
Une droite admet une infinité de représentations paramétriques
Exemple
La droite passant par l’origine et de vecteur directeur \vec{u}\left(1~; 1~; 1\right) a pour représentation paramétrique :
\left\{ \begin{matrix} x=k \\ y=k \\ z=k \end{matrix}\right. avec k \in \mathbb{R}
Théorème et définition (Représentation paramétrique d’un plan)
Soient \mathscr P un plan passant par A\left(x_{A}~; y_{A}~; z_{A}\right) et \vec{u}\left(a~; b~; c\right) et \vec{u}^{\prime}\left(a^{\prime}~; b^{\prime}~; c^{\prime}\right) deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Un point M\left(x~; y~; z\right) appartient au plan \mathscr P si et seulement si il existe deux réels k et k^{\prime} tels que :
\left\{ \begin{matrix} x=x_{A}+ak+a^{\prime}k^{\prime} \\ y=y_{A}+bk+b^{\prime}k^{\prime} \\ z=z_{A}+ck+c^{\prime}k^{\prime} \end{matrix}\right. avec k \in \mathbb{R} et k^{\prime} \in \mathbb{R}
Ce système est appelé représentation paramétrique du plan \mathscr P
Démonstration
On utilise le fait que :
\vec{u} et \vec{u}^{\prime}
M\left(x~; y~; z\right) \in \mathscr P \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} est coplanaire à \vec{u} et \vec{u}^{\prime} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=k\vec{u}+k^{\prime}\vec{u}^{\prime}
Remarque
Là encore, un plan admet une infinité de représentations paramétriques
Exemple
Le plan \left(xOy\right) passe par l’origine et \vec{i}\left(1~; 0~; 0\right) et \vec{j}\left(0~; 1~; 0\right) sont deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Une représentation paramétrique du plan \left(xOy\right) est donc :
\left\{ \begin{matrix} x=k \\ y=k^{\prime} \\ z=0 \end{matrix}\right. avec \left(k,k^{\prime}\right) \in \mathbb{R}^{2}