1 – Développer
Définition
Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence).
Rappel
Une expression est une somme (algébrique) si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une addition ou une soustraction.
Une expression est un produit si la dernière opération effectuée (celle qui donne le résultat final) est une multiplication.
Par exemple :
3\times 5 – 2\times 45 et 2x+8y sont des sommes algébriques
5\times \left(3+8\right) et \left(x+1\right)\left(y – 5\right) sont des produits.
Propriétés (Distributivité)
k\left(a+b\right)=ka+kb
k\left(a – b\right)=ka – kb
\left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd
Exemples
Développer les expressions suivantes:
A=3\left(x – 2\right)
A=3x – 6
B=\left(x+3\right)\left(2x – 5\right)
B=2x^{2} – 5x+6x – 15
B=2x^{2}+x – 15
Propriétés (Identités remarquables – Développement)
\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
\left(a – b\right)^{2}=a^{2} – 2ab+b^{2}
\left(a+b\right)\left(a – b\right)=a^{2} – b^{2}
Exemples
Développer les expressions suivantes:
C=\left(x+1\right)^{2}
C=x^{2}+2\times x\times 1+1^{2} (première identité remarquable avec a=x et b=1) C=x^{2}+2x+1
D=\left(2x – 1\right)^{2}
D=4x^{2} – 2\times 2x\times 1+1^{2} (seconde identité remarquable avec a=2x et b=1) D=4x^{2} – 4x+1
E=\left(x+2\right)\left(x – 2\right)
E=x^{2} – 2^{2} (troisième identité remarquable avec a=x et b=2) E=x^{2} – 4
2 – Factoriser
Définition
Factoriser une somme (ou une différence), c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Propriétés
ka+kb=k\left(a+b\right)
ka – kb=k\left(a – b\right)
k est le facteur commun
Exemples
Factoriser les expressions suivantes:
A=\left(x+3\right)\left(x+2\right) – 7\left(x+2\right)
Le facteur commun est \left(x+2\right)
A=\left(x+2\right)\left[\left(x+3\right) – 7\right]
A=\left(x+2\right)\left(x – 4\right)
B=\left(2x+1\right)^{2} – \left(2x+1\right)\left(x+3\right)
B=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right) – \left(2x+1\right)\left(x+3\right)
Le facteur commun est \left(2x+1\right)
B=\left(2x+1\right)\left[\left(2x+1\right) – \left(x+3\right)\right]
B=\left(2x+1\right)\left(2x+1 – x – 3\right)
B=\left(2x+1\right)\left(x – 2\right)
Remarques
Avec des carrés :
Pour factoriser \left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right), on utilise le fait que \left(x+1\right)^{2}=\left(x+1\right)\left(x+1\right) ce qui fait apparaître le facteur commun \left(x+1\right) :
\left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)\left(x+2\right)={\color{red} {\left(x+1\right)}}\left(x+1\right)+{\color{red} {\left(x+1\right)}}\left(x+2\right)
=\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)+\left(x+2\right)\right]
=\left(x+1\right)\left(2x+3\right)
Attention à ne pas oublier le 1 !
Pour factoriser x^{2} – x on écrit que x^{2}=x\times x et x=x\times 1;
x est alors facteur commun :
x^{2} – x = {\color{red} x}\times x – {\color{red} x}\times 1 = x \left(x – 1\right)
Propriétés (Identités remarquables – Factorisation)
a^{2}+2ab+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}
a^{2} – 2ab+b^{2}=\left(a – b\right)^{2}
a^{2} – b^{2}=\left(a+b\right)\left(a – b\right)
Exemples
Factoriser les expressions suivantes:
C=x^{2} – 6x+9
C=x^{2} – 2\times x\times 3+3^{2}
C=\left(x – 3\right)^{2} (seconde identité remarquable avec a=x et b=3)
D=25x^{2} – 4
D=\left(5x\right)^{2} – 2^{2}
D=\left(5x+2\right)\left(5x – 2\right) (troisième identité remarquable avec a=5x et b=2)