Primitives d’une fonction
Définition
Soit f une fonction définie sur I.
On dit que F est une primitive de f sur l’intervalle I, si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout x de I, F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right).
Exemple
La fonction F : x\mapsto x^{2} est une primitive de la fonction f : x\mapsto 2x sur \mathbb{R}.
La fonction G : x\mapsto x^{2}+1 est aussi une primitive de cette même fonction f.
Propriété
Si F est une primitive de f sur I, alors les autres primitives de f sur I sont les fonctions de la forme F+k où k\in \mathbb{R}.
Remarque
Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de f mais une primitive de f.
Exemple
Les primitives de la fonction f : x\mapsto 2x sont les fonctions F : x\mapsto x^{2}+k où k \in \mathbb{R}.
Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Propriétés (Primitives des fonctions usuelles)
| Fonction f | Primitives F | Ensemble de validité |
|---|---|---|
| 0 | k | \mathbb{R} |
| a | ax+k | \mathbb{R} |
| x^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right) | \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k | \mathbb{R} |
| \dfrac{1}{x} | \ln x+k | \left]0;+\infty \right[ |
| e^{x} | e^{x}+k | \mathbb{R} |
Propriétés
Si f et g sont deux fonctions définies sur I et admettant respectivement F et G comme primitives sur I et k un réel quelconque.
F+G est une primitive de la fonction f+g sur I.
k F est une primitive de la fonction k f sur I.
Propriétés
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Les primitives de la fonction x \mapsto u^{\prime}\left(x\right)e^{u\left(x\right)} sont les fonctions x \mapsto e^{u\left(x\right)}+k (où k \in \mathbb{R})
Exemple
La fonction x\mapsto 2xe^{\left(x^{2}\right)} est de la forme u^{\prime}e^{u} avec u\left(x\right)=x^{2}.
Ses primitives sont donc les fonctions x\mapsto e^{\left(x^{2}\right)}+k \left(k \in \mathbb{R}\right)
Intégrales
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle \left[a ; b\right] et F une primitive de f sur \left[a;b\right]. L’intégrale de a à b de f est le nombre réel noté \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx défini par:
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right) – F\left(a\right)
Remarque
L’intégrale ne dépend pas de la primitive de f choisie.
En effet si G est une autre primitive de f, on a G=F+k donc :
G\left(b\right) – G\left(a\right)=F\left(b\right)+k – \left(F\left(a\right)+k\right)=F\left(b\right) – F\left(a\right)
Notations
On note souvent : F\left(b\right) – F\left(a\right)=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
On obtient avec cette notation :
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
Exemple
La fonction F définie par F\left(x\right)=\dfrac{x^{3}}{3} est une primitive de la fonction carré.
On a donc :
\int_{0}^{1}x^{2}dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3} – \dfrac{0}{3}=\dfrac{1}{3}
Propriétés de l’intégrale
Propriété
Relation de Chasles Soit f une fonction continue sur \left[a;b\right] et c\in \left[a;b\right].
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{c}f\left(x\right)dx+\int_{c}^{b}f\left(x\right)dx
Propriété
Linéarité de l’intégrale Soit f et g deux fonctions continues sur \left[a;b\right] et \lambda \in \mathbb{R}.
\int_{a}^{b}f\left(x\right)+g\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx
\int_{a}^{b} \lambda f\left(x\right)dx=\lambda \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx
Propriété
Comparaison d’intégrales Soit f et g deux fonctions continues sur \left[a;b\right] telles que f\geqslant g sur \left[a;b\right].
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\geqslant \int_{a}^{b}g\left(x\right)dx
Remarque
En particulier, en prenant pour g la fonction nulle on obtient si f\left(x\right)\geqslant 0 sur \left[a;b\right]:
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\geqslant 0
Interprétation graphique
Définition
Le plan P est rapporté à un repère orthogonal \left(O,\vec{i},\vec{j}\right).
On appelle unité d’aire (u.a.) l’aire d’un rectangle dont les côtés mesurent ||\vec{i}|| et ||\vec{j}||.
Unité d’aire dans le cas d’un repère orthonormé
Propriété
Si f est une fonction continue et positive sur \left[a;b\right], alors l’intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx est l’aire, en unités d’aire, de la surface délimitée par :
la courbe C_{f}
l’axe des abscisses
les droites (verticales) d’équations x=a et x=b
Exemple
L’aire colorée ci-dessus est égale (en unités d’aire) à \int_{1}^{3}f\left(x\right)dx
Remarques
Si f est négative sur \left[a;b\right], la propriété précédente appliquée à la fonction – f montre que
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx est égale à l’opposé de l’aire délimitée par la courbe C_{f}, l’axe des abscisses, les droites d’équations x=a et x=b
Si le signe de f varie sur \left[a;b\right], on découpe \left[a;b\right] en sous-intervalles sur lesquels f garde un signe constant.
Propriété
Si f et g sont des fonctions continues et telles que f\leqslant g sur \left[a;b\right], alors l’aire de la surface délimitée par :
la courbe C_{f}
la courbe C_{g}
les droites (verticales) d’équations x=a et x=b
est égale (en unités d’aire) à :
A=\int_{a}^{b}g\left(x\right) – f\left(x\right)dx
Exemple
f et g définies par f\left(x\right)=x^{2} – x et g\left(x\right)=3x – x^{2} sont représentées par les paraboles ci-dessous :
L’aire colorée est égale (en unités d’aire) à :
A=\int_{0}^{2}g\left(x\right) – f\left(x\right)dx = \int_{0}^{2} 4x – 2x^{2} = \left[2x^{2} – \dfrac{2}{3}x^{3}\right]_{0}^{2}=\dfrac{8}{3} \text{u.a.}